Question

【题目】如图，已知抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）在抛物线的对称轴上是否存在点P，使得△PBC是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；

（3）连接CB，在直线CB上方的抛物线上有一点M，使得△BCM的面积最大，求出M点的坐标．

Answer 1

【答案】（1）；（2）共存在5个点P1（1，3+），P2（1，3-），P3（1，），P4（1，-），P5（1，1），使△PBC为等腰三角形；（3）M（，）．

【解析】

（1）利用待定系数法即可求得解析式；

（2）根据点P在抛物线对称轴上，可设点P的坐标为（1，m），分三种情况讨论，①PC=BC，②PB=BC，③PB=PC，求出m的值后即可得出答案．

（3）设M的坐标为（n，-n2+2n+3），根据S△BCM=S△OBC+S△OCM-S△OBC即可得出△BCM的面积S关于n的函数关系式，进而求得M的坐标．

：（1）设抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，

∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，与y轴交于点C（0，3）．

∴ ，

解得，．

∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3；

（2）存在，理由如下：

∵抛物线与x轴交于A（-1，0）、B（3，0）两点，

∴抛物线的对称轴为：x=1，假设存在P（1，m）满足题意：

讨论：

①当PC=BC时，

∵OB=3，OC=3，

∴BC=3，

∴，

解得：m=3±，

∴P1（1，3+），P2（1，3-）；

②当PB=BC时，，

解得：m3=，m4=-，

∴P3（1，），P4（1，-），

③当PB=PC时， ，

解得：m=1，

∴P5（1，1），

综上，共存在5个点P1（1，3+），P2（1，3-），P3（1，），P4（1，-），P5（1，1），使△PBC为等腰三角形．

（3）如图，设M的坐标为（n，-n2+2n+3），

∵B（3，0），C（0，3）．

∴OB=3，OC=3，

∴S△OBC=×3×3=，S△OBM=×3×（-n2+2n+3）=（-n2+2n+3），S△OCM=×3×n=n，

∴S△BCM=S△OBM+S△OCM-S△OBC=（-n2+2n+3）+n-=-（n-）2+，

∴当n=时，△BCM的面积最大，最大值是，

∴M（，）．