题目内容
在矩形ABCD中，点E在BC边上，过E作EF⊥AC于F，G为线段AE的中点，连接BF、FG、GB．设
=k．（1）证明：△BGF是等腰三角形；
（2）当k为何值时，△BGF是等边三角形？
（3）我们知道：在一个三角形中，等边所对的角相等；反过来，等角所对的边也相等．事实上，在一个三角形中，较大的边所对的角也较大；反之也成立．
利用上述结论，探究：当△BGF分别为锐角、直角、钝角三角形时，k的取值范围．
【答案】分析：（1）根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半就可以得出BG=FG，从而得出结论；
（2）当△BGF为等边三角形时由等边三角形的性质可以得出∠BAC=30°，根据锐角三角函数值就可以求出k的值；
（3）根据（1）（2）的结论课得出△BGF是等腰三角形和∠BAC=
∠BGF，根据∠BGF的大小分三种情况讨论就可以求出结论．
解答：解：
（1）证明：∵EF⊥AC于点F，
∴∠AFE=90°
∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，
∴
，
在Rt△ABE中，同理可得
，
∴GF=GB，
∴△BGF为等腰三角形；
（2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴
，
∴当k=
时，△BGF为等边三角形；
（3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC=
∠BGF，
∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，
∴∠BAC＜45°，
∴AB＞BC，
∴k=
＞1；
当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k=
=1；
当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，
∴∠BAC＞45°
∴AB＜BC，
∴k=
＜1；
∴0＜k＜1．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用，等腰三角形的判定定理的运用，外角与内角的关系的运用，分类讨论思想在实际问题的运用，解答时灵活运用直角三角形的性质及外角与内角的关系是关键．
（2）当△BGF为等边三角形时由等边三角形的性质可以得出∠BAC=30°，根据锐角三角函数值就可以求出k的值；
（3）根据（1）（2）的结论课得出△BGF是等腰三角形和∠BAC=
∠BGF，根据∠BGF的大小分三种情况讨论就可以求出结论．解答：解：
（1）证明：∵EF⊥AC于点F，∴∠AFE=90°
∵在Rt△AEF中，G为斜边AE的中点，
∴
，在Rt△ABE中，同理可得
，∴GF=GB，
∴△BGF为等腰三角形；
（2）当△BGF为等边三角形时，∠BGF=60°
∵GF=GB=AG，
∴∠BGE=2∠BAE，∠FGE=2∠CAE
∴∠BGF=2∠BAC，
∴∠BAC=30°，
∴∠ACB=60°，
∴
，∴当k=
时，△BGF为等边三角形；（3）由（1）得△BGF为等腰三角形，由（2）得∠BAC=
∠BGF，∴当△BGF为锐角三角形时，∠BGF＜90°，
∴∠BAC＜45°，
∴AB＞BC，
∴k=
＞1；当△BGF为直角三角形时，∠BGF=90°，
∴∠BAC=45°
∴AB=BC，
∴k=
=1；当△BGF为钝角三角形时，∠BGF＞90°，
∴∠BAC＞45°
∴AB＜BC，
∴k=
＜1；∴0＜k＜1．
点评：本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半的运用，等腰三角形的判定定理的运用，外角与内角的关系的运用，分类讨论思想在实际问题的运用，解答时灵活运用直角三角形的性质及外角与内角的关系是关键．
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