Question

如图，在矩形ABCD中，点E、F、G、H分别在边AB、BC、CD、DA上，点P在矩形ABCD内，若AB=4，BC=6，AE=CG=3，BF=DH=4，四边形AEPH的面积为5，求四边形PFCG的面积．

Answer 1

分析：先连接AP，CP．把该四边形分解为三角形进行解答．设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．得出AH=CF，AE=CG．然后得出S_{四边形AEPH}=S_△AHP+S_△AEP．根据题意可求解．

解答：解：解法一、
连接AP，CP，设△AHP在AH边上的高为x，△AEP在AE边上的高为y．
则△CFP在CF边上的高为4-x，△CGP在CG边上的高为6-y．
∵AH=CF=2，AE=CG=3，
∴S_{四边形AEPH}=S_△AHP+S_△AEP，
=

1

2

AH×x+

1

2

AE×y，
=

1

2

×2x+

1

2

×3y=5，即2x+3y=10，
S_{四边形PFCG}=S_△CGP+S_△CFP=CF×（4-x）×

1

2

+CG×（6-y）×

1

2

，
=2（4-x）×

1

2

+3（6-y）×

1

2

，
=（26-2x-3y）×

1

2

，
=（26-10）×

1

2

，
=8．
解法二、连接HE、EF、FG、GH，证△DHG≌△BFE，
推出HG=EF，
同理：HE=GF，
则四边形EFGH由条件知是平行四边形，面积为4×6-

1

2

×3×2-

1

2

×3×2-

1

2

×4×1-

1

2

×4×1=14，
由平行四边形性质知：S_△HEP+S_△FGP=

1

2

S_{平行四边形EFGH}=7，
∵△AEH的面积为

1

2

×3×2=3，△CGF的面积为

1

2

×3×2=3，
四边形AEPH的面积为5，
∴△HEP的面积是5-3=2，
△PGF的面积是7-2=5，
∴四边形PFCG的面积S=S_△PGF+S_△CGF=5+3=8．
答：四边形PFCG的面积是8．

点评：本题考查了对矩形的性质，三角形的面积等知识点，把四边形的面积分解为三角形的面积来求解是解此题的关键．