Question

【题目】已知矩形ABCD的一条边AD＝4，将矩形ABCD折叠，使得顶点B落在边上的P点处．

（1）如图1，已知折痕与边BC交于点O，连结AP、OP、OA．求证：△OCP∽△PDA；

（2）若△OCP与△PDA的面积比为1：4，求边AB的长；

（3）如图2，在（1）（2）的条件下，擦去折痕AO线段OP，连结BP，动点M在线段AP上（点M与点P、A不重合），动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连结MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E．试问当点M、N在移动过程中，线段EF的长度是否发生变化？若变化，说明理由；若不变，求出线段EF的长度．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）AB＝5；（3）EF的长度不变，EF＝．

【解析】

（1）根据折叠的性质得到∠APO=∠B=90°，根据相似三角形的判定定理证明△OCP∽△PDA；

（2）根据相似三角形的面积比等于相似比的平方解答；

（3）作MQ∥AB交PB于Q，根据等腰三角形的性质和相似三角形的性质得到EF=PB，根据勾股定理求出PB，计算即可．

（1）∵四边形ABCD是矩形，

∴AD＝BC，DC＝AB，∠DAB＝∠B＝∠C＝∠D＝90°．

由折叠可得：AP＝AB，PO＝BO，∠PAO＝∠BAO，∠APO＝∠B．

∴∠APO＝90°．

∴∠APD＝90°﹣∠CPO＝∠POC．

∵∠D＝∠C，∠APD＝∠POC．

∴△OCP∽△PDA．

（2）∵△OCP∽△PDA且△OCP与△PDA的面积比为1：4

∴,

∴DA＝2CP

∵AD＝4，

∴CP＝2

设AB＝x，则AP＝CD＝x，DP＝x﹣2，

在Rt△ADP中，

∵∠D＝90°，AD＝4，DP＝x﹣2，AP＝x

∴x2＝（x﹣2）2+42

解得：x＝5

∴AB＝5

（3）EF的长度不变．

如图2，作MQ∥AB交PB于Q，

∴∠MQP＝∠ABP，

由折叠的性质可知，∠APB＝∠ABP，

∴∠MQP＝∠APB，

∴MP＝MQ，又BN＝PM，

∴MQ＝BN，

∵MQ∥AB，

∴，

∴QF＝FB，

∵MP＝MQ，ME⊥BP，

∴PE＝QE，

∴EF＝PB，

由（2）得，PC＝2，BC＝4，

∴PB＝ ＝ ，

∴EF＝．