Question

【题目】如图1，在四边形ABCD中，点E、F分别是AB、CD的中点，过点E作AB的垂线，过点F作CD的垂线，两垂线交于点G，连接AG、BG、CG、DG，且∠AGD＝∠BGC．

（1）求证：AD＝BC；

（2）求证：△AGD∽△EGF；

（3）如图2，若AD、BC所在直线互相垂直，求的值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）

【解析】

试题（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等可得GA=GB，GD=GC．由“SAS”可判定△AGD≌△BGC根据全等三角形的对应边相等即可得AD=BC．（2）根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似可判定△AGB∽△DGC，再由相似三角形对应高的比等于相似比可得，再证得∠AGD=∠EGF，根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似即可判定△AGD∽△EGF．（3）如图1，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH．由△AGD≌△BGC可知∠GAD=∠GBC．

在△GAM和△HBM中，由∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB可证得∠AGB=∠AHB=90°，根据等腰三角形三线合一的性质可得∠AGE =45°，即可得出根据相似三角形对应边的比相等即可得

试题解析：（1）证明：∵GE是AB的垂直平分线，∴GA=GB．同理GD=GC．

在△AGD和△BGC中，∵GA=GB，∠AGD=∠BGC，GD=GC， ∴△AGD≌△BGC．∴AD=BC．

（2） 证明：∵∠AGD=∠BGC， ∴∠AGB=∠DGC．

在△AGB和△DGC中，，∠AGB=∠DGC， ∴△AGB∽△DGC．

∴，又∠AGE=∠DGF，∴∠AGD=∠EGF，∴△AGD∽△EGF．

（3）解：如图1，延长AD交GB于点M，交BC的延长线于点H，则AH⊥BH．

由△AGD≌△BGC，知∠GAD=∠GBC，

在△GAM和△HBM中，∠GAD=∠GBC，∠GMA=∠HMB．

∴∠AGB=∠AHB=90°，

∴∠AGE=∠AGB=45°，

∴

又△AGD∽△EGF，

∴

（本小题解法有多种，如可按图2、图3做辅助线求解，过程略）