Question

8．如图，在平面直角坐标系xOy中，点C的坐标为（0，4），点A为x轴正半轴上的一个动点，以AC为对角线作正方形ABCD（点B在点D右侧），设点A的坐标为（a，0）（a≠4）．
（1）当a=2时．
①求正方形ABCD的边长；
②求点B的坐标．
（2）0＜a＜4时，试判断△BOD的形状，并说明理由．
（3）是否存在a，使得△AOC与△BOD全等？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）①在Rt△AOC中，利用勾股定理求出AC，即可解决问题．
②如图1中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，连接OD、AC、BD，AC与BD交于点G，首先证明四边形DMON是正方形，设边长为a，根据CN=AM列出方程即可解决问题．
（2）结论：△BOD是直角三角形．如图2中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，BH⊥OC于H，BG⊥OA于G．只要证明DM=DN，BH=BG即可解决问题．
（3）分两种情形①如图2中，当OA=OD时，△AOC≌△ODB，设OA=OD=a，则DM=OM=ON=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，列出方程即可解决问题．
②如图3中，当OC=OD=4时，△AOC≌△BOD，设OA=a，根据CN=AM列出方程即可解决问题．

解答 解：（1）当a=2时，如图1中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，连接OD、AC、BD，AC与BD交于点G，

①在Rt△AOC中，∵∠AOC=90°，OC=4，OA=2，
∴AC=$\sqrt{O{C}^{2}+O{A}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}+{2}^{2}}$=2$\sqrt{5}$，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠CDA=90°，CD=AD=AB=BC，
∴2CD²=20，
∴CD=$\sqrt{10}$，
∴正方形边长为$\sqrt{10}$．

②∵∠DMO=∠MON=∠DNO=90°，
∴四边形DMON是矩形，
∴∠MDN=∠CDA=90°，
∴∠CDN=∠ADM，
在△CDN和△ADM中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠CDN=∠ADM}\\{∠CND=∠DMA}\\{CD=AD}\end{array}\right.$，
∴△CDN≌△ADM，
∴DN=DM，CN=AM，
∴四边形DMON是正方形，设边长为a，B（m，n）
则2+a=4-a，
∴a=1，
∴点D坐标（-1，1），
∵DG=GB，G（1，2），
∴$\frac{-1+m}{2}$=1，$\frac{1+n}{2}$=2，
∴m=n=3，
∴点B坐标为（3，3）．

（2）结论：△BOD是直角三角形．
理由：如图2中，作DM⊥AO于M，DN⊥OC于N，BH⊥OC于H，BG⊥OA于G．

由（1）可知△CDN≌△ADM，同理可证△CBH≌△ABG，
∴DN=DM，BH=BG，
∴OD平分∠COM，OB平分∠COA，
∴∠DOC=∠BOC=45°，
∴∠DOB=90°，
∴△DOB是直角三角形．

（3）①如图2中，当OA=OD时，△AOC≌△ODB，设OA=OD=a，则DM=OM=ON=DN=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a，
∵CN=AM，
∴4-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a=$\frac{\sqrt{2}}{2}$a+a，
∴a=4$\sqrt{2}$-4．
②如图3中，当OC=OD=4时，△AOC≌△BOD，设OA=a，

∵OC=OD=4，
∴ON=ND=DM=OM=2$\sqrt{2}$，
∵CN=AM，
∴4+2$\sqrt{2}$=a-2$\sqrt{2}$，
∴a=4+4$\sqrt{2}$．
综上所述当a=4$\sqrt{2}$-4或4$\sqrt{2}$+4时，△AOC与△BOD全等．

点评 本题考查四边形综合题、正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用方程的思想思考问题，属于中考常考题型．