Question

【题目】在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线与x轴交于点A（3,0）和点B，与y轴相交于点C（0,3），抛物线的顶点为点D．

（1）求抛物线的表达式及顶点D的坐标；

（2）联结AD、AC、CD，求∠DAC的正切值；

（3）如果点P是原抛物线上的一点，且∠PAB=∠DAC，将原抛物线向右平移m个单位（m>0），使平移后新抛物线经过点P，求平移距离．

Answer 1

【答案】(1)，（-1，4）； (2) ；(3) 平移距离为或

【解析】

（1）利用待定系数法构建方程组即可解决问题．
（2）利用勾股定理求出AD，CD，AC，证明∠ACD=90°即可解决问题．
（3）过点P作x轴的垂线，垂足为H．设P（a，-a2-2a+3），可得PH=|-a2-2a+3|，AH=a+3，由∠PAB=∠DAC，推出tan∠PAB=tan∠DAC=．接下来分两种情形，构建方程求解即可．

解：（1）抛物线交轴于点，交轴于点，

根据题意，得：

解得,.

∴抛物线的表达式是，顶点的坐标为（-1，4）；

（2）∵A（-3，0），C（0，3），D（-1，4），

∴，

，

，

∵

∴，

∴，

∴；

（3）过点作轴垂线，垂足为点，

∵点是抛物线上一点，

∴设，可得，，

∵，

∴；

（ⅰ）， 解得（舍去），，

∴点的坐标为，

过点作轴平行线与抛物线交于点，则点与点关于直线对称，

由抛物线的对称性可得，

∴平移距离为；

（ⅱ），解得（舍去），，

∴点的坐标为，

过点作轴平行线与抛物线交于点，则点与点关于直线对称，

由抛物线的对称性可得，

∴平移距离为，

综上所述，平移距离为或．