Question

如图，正方形ABCD的边AB=8厘米，对角线AC、BD交于点O，点P沿射线AB从点A开始以2厘米/秒的速度运动；点E沿DB边从点D开始向点B以

2

厘米/秒的速度运动．如果P、E同时出发，用t秒表示运动的时间（0＜t＜8）．
（1）如图1，当0＜t＜4时，①求证：△APC∽△DEC；②判断△PEC的形状并说明理由；
（2）若以P、C、E、B为顶点的四边形的面积为25，求运动时间t的值．

Answer 1

考点：正方形的性质,相似三角形的判定与性质

专题：动点型

分析：（1）①根据正方形的对角线等于边长的

2

倍求出BD，再表示出AP、DE，然后根据两组边对应成比例，夹角相等，两三角形相似证明；
②根据相似三角形对应边成比例求出

PC

CE

=

2

，相似三角形对应角相等求出∠ACP=∠DCE，再求出∠PCE=∠ACD=45°，然后判断出△PEC是等腰直角三角形；
（2）根据正方形的性质求出点E到AB、BC的距离，再分①0＜t＜4时，点P在AB上，四边形的面积=S_△PBE+S_△BCE，然后列出方程求解即可；②4＜t＜8时，点P在AB的延长线上，四边形的面积=S_△PBC+S_△BCE，然后列出方程求解即可．

解答：（1）①证明：∵AB=8cm，
∴AC=BD=

2

AB=8

2

cm，
∵点P的运动的速度为2厘米/秒，点E运动的速度为

2

厘米/秒，
∴AP=2t，DE=

2

t，
∴

AP

DE

=

2t

2 t

=

2

，
∵

AC

CD

=

8 2

8

=

2

，
∴

AP

DE

=

AC

CD

，
又∵∠PAC=∠EDC=45°，
∴△APC∽△DEC；

②解：∵△APC∽△DEC，
∴

PC

CE

=

AP

DE

=

2

，∠ACP=∠DCE，
∴∠PCE=∠ACP+∠ACE=∠DCE+∠ACE=∠ACD=45°，
∴△PEC是等腰直角三角形；

（2）解：∵DE=

2

t，
∴BE=8

2

-

2

t，
∴点E到AB、BC的距离相等，都是（8

2

-

2

t）×

2

2

=8-t，
①0＜t＜4时，点P在AB上，
四边形的面积=S_△PBE+S_△BCE，
=

1

2

（8-2t）×（8-t）+

1

2

×8×（8-t），
=（8-t）²，
∴（8-t）²=25，
解得t₁=3，t₂=13（舍去），
②4＜t＜8时，如图，点P在AB的延长线上，
四边形的面积=S_△PBC+S_△BCE，
=

1

2

（2t-8）×8+

1

2

×8×（8-t），
=4t，
∴4t=25，
解得t=

25

4

，
综上所述，t=3或

25

4

秒时，以P、C、E、B为顶点的四边形的面积为25．

点评：本题考查了正方形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定，三角形的面积，熟记各性质是解题的关键，难点在于（2）要分情况讨论．