Question

如图，在直角坐标系中，点A的坐标是（0.3），点C是x轴上的一个动点，点C在x轴上移动时，始终保持△ACP是等边三角形．当点C移动到点O时，得到等边三角形AOB（此时点P与点B重合）．

（1）点C在移动的过程中，当等边三角形ACP的顶点P在第三象限时（如图），求证：△AOC≌△ABP；由此你发现什么结论？

（2）求点C在x轴上移动时，点P所在函数图象的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵△AOB与△ACP都是等边三角形，

∴AO=AB，AC=AP，∠CAP=∠OAB=60°，

∴∠CAP+∠PAO=∠OAB+∠PAO，

∴∠CAO=∠PAB，

在△AOC与△ABP中，

∴△AOC≌△ABP（SAS）．

∴∠COA=∠PBA=90°，

∴点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°．

故结论是：点P在过点B且与AB垂直的直线上或PB⊥AB或∠ABP=90°；

（2）解：点P在过点B且与AB垂直的直线上．

∵△AOB是等边三角形，A（0，3），

∴B（，）．

当点C移动到点P在y轴上时，得P（0，﹣3）．

设点P所在的直线方程为：y=kx+b（k≠0）．把点B、P的坐标分别代入，得

，

解得 ，

所以点P所在的函数图象的解析式为：y=x﹣3．