Question

如图，已知△ABC中，CE⊥AB于点E，BF⊥AC于点F，如果S_△ABC=2400，S_△AEF=600．
（1）求证：△AEC∽△AFB；
（2）求角A的正弦值．

Answer 1

分析：（1）根据∠AEC=∠AFB=90°，∠A公共，可证明△AFB与△AEC相似；
（2）由△AFB与△AEC相似，得

AE

AF

=

AC

AB

，易证△AEF∽△ACB，得出对应变得比，即可得出角A的正弦值．

解答：（1）证明：∵CE⊥AB，BF⊥AC，
∴∠AEC=∠AFB=90°．
∵∠A公共，
∴△AFB∽△AEC．

（2）解：∵△AFB∽△AEC，
∴

AE

AF

=

AC

AB

，
又∠A公共，
∴△AEF∽△ACB．
∵S_△ABC=2400，S_△AEF=600．
∴

AC

AE

=

AB

AF

=

BC

EF

=2，
假设AF=x，AB=2x，∴BF=

3

x，
∴sin∠A=

BF

AB

=

3

2

．

点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质和解直角三角形以及相似三角形面积比等于相似比的平方，由于证明两次相似，所以稍有难度．