Question

观察下列运算：
①由(

2

+1)(

2

-1)=1，得

1

2 +1

=

2

-1；
②由(

3

+

2

)(

3

-

2

)=1，得

1

3 + 2

=

3

-

2

；
③由(

4

+

3

)(

4

-

3

)=1，得

1

4 + 3

=

4

-

3

；
④由(

5

+

4

)(

5

-

4

)=1，得

1

5 + 4

=

5

-

4

；
…
（1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来，并注明n的取值；
（2）利用你发现的规律，计算：

1

2 +1

+

1

3 + 2

+

1

4 + 3

+

1

5 + 4

+…+

1

2011 + 2010

．

Answer 1

分析：（1）根据已知式子反映的规律即可得出答案；
（2）根据已知得出（

2

-1）+（

3

-

2

）+（

4

-

3

）+…+（

2011

-

2010

），去括号后合并同类二次根式即可．

解答：解：（1）

1

n+1 + n

=

n+1

-

n

（n为正整数）

（2）原式=（

2

-1）+（

3

-

2

）+（

4

-

3

）+…+（

2011

-

2010

）
=

2

-1+

3

-

2

+

4

-

3

+…+

2011

-

2010

=

2011

-1．

点评：本题考查了分母有理化，本题是一道有一定规律的题目，关键是能根据已知得出规律，注意：

2

+1的有理化因式是

2

-1．