题目内容

观察下列运算：
①由 $数学公式$ ，得 $数学公式$ ；
②由 $数学公式$ ，得 $数学公式$ ；
③由 $数学公式$ ，得 $数学公式$ ；
④由 $数学公式$ ，得 $数学公式$ ；
…
（1）通过观察，将你发现的规律用含有n的式子表示出来，并注明n的取值；
（2）利用你发现的规律，计算： $数学公式$ ．

解：（1） $\text{[math]}$ （n为正整数）

（2）原式=（ $\text{[math]}$ -1）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）
= $\text{[math]}$ -1+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ +…+ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$
= $\text{[math]}$ -1．
分析：（1）根据已知式子反映的规律即可得出答案；
（2）根据已知得出（ $\text{[math]}$ -1）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）+…+（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ），去括号后合并同类二次根式即可．
点评：本题考查了分母有理化，本题是一道有一定规律的题目，关键是能根据已知得出规律，注意： $\text{[math]}$ +1的有理化因式是 $\text{[math]}$ -1．