Question

如图（1），AB、BC、CD分别与⊙O相切于点E、F、G，且AB∥CD， 若，

（1）求BC和OF的长；

（2）求证：三点共线；

（3）小叶从第（1）小题的计算中发现：等式

成立，于是她得到这样的结论：

如图（2），在中，，，

垂足为，设，，则有等式

成立．请你判断小叶的结论是否正确，

若正确，请给予证明，若不正确，请说明理由.     

 

Answer 1

（1）解：

∵AB∥CD

∴∠ABC+∠BCD=180°

又∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G

         ∴BO，CO分别平分∠ABC，∠BCD

         ∴∠OBC+∠OCB=90°

又∵在Rt△ABC中，∠BOC=90°，OB=6，OC=8

∴

∴

即：10×OF=6×8

∴OF=4.8-

（2）

证法一：连接OE，OG

∵BO分别平分∠ABC

∴∠EBO=∠FBO

又∵AB，BC分别与⊙O相切于点E，F

∴∠BEO=∠BFO=90°

∴∠BOE=∠BOF

同理：∠COG=∠COF

∵∠OBC+∠OCB=90°

∴∠EOG=∠EOB+∠BOF+∠COF+∠COG=180°

∴三点共线

证法二：连接OE，OG

∵AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G

∴∠BFO=∠BEO=∠OGC=90°

∴在四边形OEBF中，∠EBF+∠EOF=180°

同理：∠GCF+∠GOF=180°

∴∠EBF+∠EOF+∠GCF+∠GOF=360°

又∵AB∥CD

∴∠EBF+∠GCF=180°

∴∠EOF+∠GOF=180°

即：三点共线

（3）

等式成立．理由如下：

证法一：∵，  _，∠A为公共角

∴△ACD∽△ABC

      ∴  

∴     

∴                                 

同理，

  

∴

∴       

证法二：tan∠CAB=

∴

∴    ∴

∴                                               

证法三∵

    ∴  

         ∴_，    ∴

     ∴

         ∴

∴

∴

∴