Question

已知：△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠ABC=∠ADE=90°，点M是CE的中点，连接BM．
（1）如图①，点D在AB上，连接DM，并延长DM交BC于点N，可探究得出BD与BM的数量关系为

 

；
（2）如图②，点D不在AB上，（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据等腰直角三角形的性质，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知BD=

2

BM，
（2）先证明△MDE≌△MFC，得出AD=ED=FC，再作AN⊥EC于点N，证出△DBF是等腰直角三角形，根据点M是DF的中点，得出△BMD是等腰直角三角形，即可得出BD=

2

BM．

解答：解：（1）BD=

2

BM，

（2）结论成立．
证明：过点C作CF∥ED，与DM的延长线交于点F，连接BF，
可证得△MDE≌△MFC，
∴DM=FM，DE=FC，
∴AD=ED=FC，
作AN⊥EC于点N，
由已知∠ADE=90°，∠ABC=90°，
可证得∠DEN=∠DAN，∠NAB=∠BCM，
∵CF∥ED，
∴∠DEN=∠FCM，
∴∠BCF=∠BCM+∠FCM=∠NAB+∠DEN=∠NAB+∠DAN=∠BAD，
∴△BCF≌△BAD，
∴BF=BD，∠DBA=∠CBF，
∴∠DBF=∠DBA+∠ABF=∠CBF+∠ABF=∠ABC=90°，
∴△DBF是等腰直角三角形，
∵点M是DF的中点，
则△BMD是等腰直角三角形，
∴BD=

2

BM．

点评：本题考查了等腰直角三角形的性质，在本题中需要作辅助线来证明，难度较大．