Question

17．如图，已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的圆O交斜边AB于D．过D作DE⊥AC于E，将△ADE沿直线AB翻折得到△ADF．
（1）求证：DF是⊙O的切线；
（2）若⊙O的半径为5，sin∠FAD=$\frac{3}{5}$，延长FD交BC于G，求DG的长．

Answer 1

分析 （1）由△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，得到∠DAE=∠DAF，∠AED=∠F=90°，由于OA=OD，于是得到∠DAE=∠ODA，根据平行线的判定定理得到OD∥AF，根据平行线的性质得到OD⊥DF，于是得到结论；
（2）连接DC，由于AC是⊙O的直径，即CD⊥AB；又FD与BC均是⊙O的切线且相交于点G由切线长定理可得：GD=GC，于是得到∠GDC=∠GCD，由于GD是R_t△BDC斜边上的中线，即GD=$\frac{1}{2}$BC，由于△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，得到sin∠DAE=sin∠DAF=$\frac{3}{5}$，解直角三角形得到sin∠DAC=$\frac{DC}{AC}=\frac{DC}{10}=\frac{3}{5}$，得DC=6，由勾股定理得AD=8；根据三角形相似即可得到结论．

解答 （1）证明：∵△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，∠AED=∠F=90°，
又∵OA=OD，
∴∠DAE=∠ODA，
∴∠DAF=∠ODA，
∴OD∥AF，
∴∠ODF+∠F=180°，
∴∠ODF=90°，
∴OD⊥DF，
∴DF是⊙O的切线；

（2）连接DC，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠ADC=90°，即CD⊥AB；
又∵FD与BC均是⊙O的切线且相交于点G，
由切线长定理可得：GD=GC，
∴∠GDC=∠GCD，
又∵R_t△BDC中，∠GCD+∠B=90°，∠GDC+∠GDB=90°，
∴∠B=∠GDB，
∴GD=GB，
∴GD是R_t△BDC斜边上的中线，即GD=$\frac{1}{2}$BC，
∵△ADE沿直线AB翻折得到△ADF，
∴∠DAE=∠DAF，
∴sin∠DAE=sin∠DAF=$\frac{3}{5}$，
又∵⊙O的半径为5，
∴AC=10，
R_t△DAC中，∠ADC=90°，
∴sin∠DAC=$\frac{DC}{AC}=\frac{DC}{10}=\frac{3}{5}$，得DC=6，
由勾股定理得AD=8；
在R_t△ADC与R_t△ACB中，∠ADC=∠ACB=90°，∠DAC=∠BAC，
∴R_t△ADC∽R_t△ACB，
∴$\frac{CD}{BC}=\frac{AD}{AC}$，即$\frac{6}{BC}=\frac{8}{10}$，解得BC=$\frac{15}{2}$；
∴GD=$\frac{1}{2}$BC=$\frac{15}{4}$．

点评 本题考查了切线的判定，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解直角三角形，图形变换-翻折，证得三角形全等是解题的关键．