Question

18．如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，延长AC至D，使AC=CD，tan∠DBC=$\frac{1}{3}$，求cosA的值．

Answer 1

分析 过点C作CE∥AB，交BD于点E，由平行线的性质得出∠ABC=90°，AC=CD，∠BCE=90°，CE是△ABD的中位线．设CE=1，根据三角形的中位线定理求出AB的长，由勾股定理求出AC的长，根据锐角三角函数的定义即可得出结论．

解答 解：过点C作CE∥AB，交BD于点E，
∵∠ABC=90°，AC=CD，
∴∠BCE=90°，CE是△ABD的中位线．
设CE=1，
∵tan∠DBC=$\frac{1}{3}$，
∴BC=3．
∵CE是△ABD的中位线，
∴AB=2CE=2，
∴AC=$\sqrt{{AB}^{2}+{BC}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴cosA=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{\sqrt{13}}$=$\frac{2\sqrt{13}}{13}$．

点评 本题考查的是解直角三角形，根据题意作出辅助线，构造出三角形的中位线是解答此题的关键．