Question

如图，在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD＝6；在△ABC中：∠C＝90^O，　　 ∠A＝30⁰，AB＝4；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90^O ,DG＝6，DE＝4，　 ∠EDG＝60⁰。解答下列问题：

（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90⁰，请你在图中作出旋转后的对应图形

△A₁B₁C，并求出AB₁的长度；

（2）翻折：将△A₁B₁C沿过点B₁且与直线垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形

△A₂B₁C₁，试判定四边形A₂B₁DE的形状？并说明理由；

（3）平移：将△A₂B₁C₁沿直线向右平移至△A₃B₂C₂，若设平移的距离为ｘ，△A₃B₂C₂与直角梯形重叠部分的面积为ｙ，当ｙ等于△ABC面积的一半时,ｘ的值是多少？

Answer 1

解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB×cos30°=，

∴AB₁=AC+C B₁=AC+CB=.

(2)四边形A₂B₁DE为平行四边形.理由如下：

∵∠EDG＝60°，∠A₂B₁C₁＝∠A₁B₁C＝∠ABC＝60°，∴A₂B₁∥DE

又A₂B₁＝A₁B₁＝AB＝4，DE＝4，∴A₂B₁＝DE,故结论成立.

（3）由题意可知：

 S_△ABC=，

①     当或时，ｙ＝0

此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半

②当时，直角边B₂C₂与等腰梯形的下底边DG重叠的长度为DC₂=C₁C₂-DC₁=（ｘ－2），则ｙ＝,

   当ｙ= S_△ABC= 时，即 ，

解得（舍）或.

∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.

③当时，△A₃B₂C₂完全与等腰梯形重叠，即

④当时,B₂G=B₂C₂-GC₂=2－(－8)=10-

则ｙ＝,

当ｙ= S_△ABC= 时，即 ，

解得,或(舍去).

∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.

由以上讨论知,当或时, 重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.