Question

如图，在直线上摆放有△ABC和直角梯形DEFG，且CD=6cm；在△ABC中：∠C=90°，∠A=30°，AB=4cm；在直角梯形DEFG中：EF//DG，∠DGF＝90° ，DG=6cm，DE=4cm，∠EDG=60°，解答下列问题：
（1）旋转：将△ABC绕点C顺时针方向旋转90°，请你在图中作出旋转后的对应图形△A₁B₁C，并求出AB₁的长度；
（2）翻折：将△A₁B₁C沿过点B₁且与直线垂直的直线翻折，得到翻折后的对应图形△A₂B₁C₁，试判定四边形A₂B₁DE的形状？并说明理由；
（3）平移：将△A₂B₁C₁沿直线向右平移至△A₃B₂C₂，若设平移的距离为x，△A₃B₂C₂与直角梯形重叠部分的面积为y，当y等于△ABC面积的一半时，x的值是多少？

Answer 1

解：（1）在△ABC中由已知得：BC=2，AC＝AB ×cos30 °=，
∴AB₁=AC+C B₁=AC+CB=.  
（2）四边形A₂B₁DE为平行四边形，理由如下：
∵∠EDG＝60 °，∠A2B₁C₁＝∠A₁B₁C＝∠ABC＝60 °，
∴A₂B₁∥DE
又A₂B₁＝A₁B₁＝AB＝4，DE＝4，
∴A₂B₁＝DE
故结论成立。

①或时，y=0此时重叠部分的面积不会等于△ABC的面积的一半
② 当时，直角边B₂C₂与等腰梯形的下底边DG重叠的长度
为DC₂=C₁C₂-DC₁=（x-2）cm，
则y＝,
当ｙ= S_△ABC= 时，即 ，解得（舍）或.
∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.
③当时，△A₃B₂C₂完全与等腰梯形重叠，即
④当时，B₂G=B₂C₂-GC₂=2-（x-8）=10-x
则y＝,
当y= S_△ABC= 时，即 ，解得或(舍).
∴当时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半.    
∴当或时，重叠部分的面积等于△ABC的面积的一半。