Question

已知a1=

1

1×2×3

+

1

2

=

2

3

，a2=

1

2×3×4

+

1

3

=

3

8

，a3=

1

3×4×5

+

1

4

=

4

15

，…，依据上述规律，则a₉=

 

．

Answer 1

分析：通过观察，可得到规律：a_n=

1

n(n+1)(n+2)

+

1

1+n

=

1+n

n(n+2)

，据此得出a₉．

解答：解：由已知通过观察得：
a₁=

1

1×2×3

+

1

2

=

2

3

，即a₁=

1

1×2×3

+

1

1+1

=

1+1

1×(1+2)

；
a₂=

1

2×3×4

+

1

3

=

3

8

，即a₂=

1

2×3×4

+

1

1+2

=

1+2

2×(2+2)

；
a₃=

1

3×4×5

+

1

4

=

4

15

，即a₃=

1

3×4×5

+

1

1+3

=

1+3

3×(3+2)

；
…，
∴a_n=

1

n(n+1)(n+2)

+

1

1+n

=

1+n

n(n+2)

，
所以a₉=

1

9×10×11

+

1

1+9

=

1+9

9×(9+2)

，
即a₉=

1

9×10×11

+

1

10

=

10

99

，
故答案为：a₉=

1

9×10×11

+

1

10

=

10

99

．

点评：此题考查的知识点是数字变化类问题，也是考查学生分析归纳问题的能力，解答此题的关键是由已知找出规律：
a_n=

1

n(n+1)(n+2)

+

1

1+n

=

1+n

n(n+2)

．