Question

【题目】如图所示，正方形ABCD中，BE=EF=FC，CG=2GD，BG分别交AE，AF于M，N，下列结论：①AF⊥BG；②BN=NF；③；④S四边形CGNF=S四边形ANGD．其中正确的结论的序号是（　　）

A.①③B.②④C.①②D.③④

Answer 1

【答案】A

【解析】

①利用SAS证△ABF≌△BCG即可进行判断；

②证明△BNF∽△BCG，求得的值，即可判断；

③作EH⊥AF，令AB＝3，分别求得MN，BM的值，即可判断；

④连接AG，FG，根据③中结论分别求得S四边形CGNF和S四边形ANGD即可．

解：①∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝BC＝CD，

∵BE＝EF＝FC，CG＝2GD，∴BF＝CG，

在△ABF和△BCG中，

，

∴△ABF≌△BCG，

∴∠BAF＝∠CBG，

∵∠BAF+∠BFA＝90°，

∴∠CBG+∠BFA＝90°，即AF⊥BG；所以①正确；

②在△BNF和△BCG中，∠CBG＝∠NBF，∠C＝∠BNF＝90°，

∴△BNF∽△BCG，∴，

∴BN＝NF；所以②错误；

③作EH⊥AF，令AB＝3，则BF＝2，BE＝EF＝CF＝1，

AF＝，

∵S△ABF＝AFBN＝ABBF，

∴BN＝，NF＝BN＝，

∴AN＝AF﹣NF＝，

∵E是BF中点，

∴EH是△BFN的中位线，

∴EH＝，NH＝，BN∥EH，

∴AH＝，，解得：MN＝，

∴BM＝BN﹣MN＝，MG＝BG﹣BM＝，

∴；所以③正确；

④连接AG，FG，根据③中结论，

则NG＝BG﹣BN＝，

∵S四边形CGNF＝S△CFG+S△GNF＝CGCF+NFNG＝1+＝，

S四边形ANGD＝S△ANG+S△ADG＝ANGN+ADDG＝，

∴S四边形CGNF≠S四边形ANGD，所以④错误.

故选A.