Question

【题目】在等边中，于点，点为上任意一点，连接，点为的中点，点为上一点，且，连接、、．

（1）若，，求的长；

（2）求证：．

Answer 1

【答案】（1）（2）证明见详解

【解析】

（1）根据等边三角形性质可知BD=BC=,利用勾股定理求出AD的长，再利用勾股定理求出BF的值；

（2）先延长EG至H，使GH=EG，连接BH、CH、FH，构造全等三角形，证四边形BHFE是平行四边形，推出BH∥EF，再由AE=EF，推出AC∥EF，得出AC∥BH，根据平行线的性质推出∠ACB=∠CBH=60°，根据三角形全等的判定和性质得出△CEH是等边三角形，再根据等边三角形性质求得结论即可．

（1）解：∵在等边中，于点，

∴AC=BC=AB=，BD=BC=

∴AD=

∵

∴DF=15-6=9

∴BF=

（2）证明：延长EG至H，使GH=EG，连接BH、CH、FH，

∵点为的中点，∴BG=FG

∴四边形BHFE是平行四边形，

∴BH=EF，BH∥EF

∵AE=EF ∴BH=AE，∠EAF=∠EFA=∠DAC

∴AC∥EF ∴AC∥BH

∴∠ACB=∠CBH=60°

在△AEC和△BHC中

∴△AEC≌△BHC(SAS)

∴∠ACE=∠BCH EC=HC

∴∠ECB+∠ACE=∠ECB+∠BCH=60°即∠ECH=60°

∴△CEH是等边三角形，GH=EG，

∴∠CGE=90°，∠ECG=30°

∴tan30°=EG∶CG=1∶

∴CG=EG