Question

已知正整数x、y满足条件：

2

x

+

1

y

=a，（其中，a是正整数，且x＜y）求x和y．

Answer 1

分析：由x，y，a都是正整数，x≥1，y≥2，得到

2

x

+

1

y

≤2+

1

2

，即a≤2

1

2

，得到a=1或a=2；讨论：当a=1时，

2

x

+

1

y

=1，分别对x=1或x=2或x≥3进行分析都不合题意，得到a≠1．当a=2时，

2

x

+

1

y

=2，然后对x=1或1＜x＜3或x≥3进行分析得到x=2，y=1．

解答：解：∵x，y，a都是正整数，x≥1，y≥2，
∴

2

x

+

1

y

≤2+

1

2

，即a≤2

1

2

，
∴a=1或a=2；
当a=1时，

2

x

+

1

y

=1，若x=1，则

1

y

=-1，与y是正整数矛盾，所以x≠1；
若x=2，则

1

y

=0，与y是正整数矛盾，所以x≠2；
若x≥3，则

2

x

+

1

y

≤

2

3

+

1

4

＜1，与

2

x

+

1

y

=1矛盾，所以x＜3；
综上所述，所以a≠1．
当a=2时，

2

x

+

1

y

=2，若x=1，则

1

y

=0，与y是正整数矛盾，所以x≠1；
若x=2，则

1

y

=1，解得y=1，符合；
若x≥3，则

2

x

+

1

y

≤

2

3

+

1

4

＜1，与

2

x

+

1

y

=2矛盾，所以x＜3；
∴1＜x＜3，
∴x=2，y=1，与x＜y矛盾．
故本题无解．

点评：本题考查了方程的正整数解的问题：利用分类讨论和不等式的性质以及正整数的性质探求方程的正整数解．