题目内容
【题目】（1）①如图①
的内角
的平分线与内角
的平分线相交于
点，请探究
与
的关系，并说明理由．
②如图②，的内角的平分线与外角
的平分线相交于
点，请探究
与的关系，并说明理由．
（2）如图③④，四边形
中，设
，
， 为四边形的内角与外角
的平分线所在直线相交而行成的锐角．请利用（1）中的结论完成下列问题：
①如图③，求的度数．（用 
的代数式表示）
②如图④，将四边形沿着直线
翻折得到四边形
，
为
延长线上一点，连接
，
与
的角平分线交于点
，求
与的数量关系．
【答案】（1）①∠M=90°+
∠A；②2∠P=∠A；
（2）①∠P=(
+
)-90°；②∠Q=180°-∠P.
【解析】
（1）①先由三角形内角和定理求出∠ABC+∠ACB的度数，再根据BM，CM分别平分∠ABC和∠ACB求出∠MBC+∠MCB，由三角形内角和定理可求∠M与∠A的关系；
②根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC，再根据角平分线的性质即可得解；
（2）①延长BA交CD的延长线于F，由（1）的结论和三角形内角和定理可求∠P的度数；
②延长CG交BN于H，由（1）的结论和三角形外角的性质可求∠Q与∠P的数量关系.
解：（1）①∠M=90°+∠A
理由如下：
∵∠A+∠ABC+ =180°
∴∠ABC+∠ACB=180°-∠A
∵BM，CM分别平分∠ABC和∠ACB
∴∠MBC=∠ABC，∠MCB=∠ACB
∴∠MBC+∠MCB=(∠ABC+∠ACB)
∴∠M=180°-(∠MBC+∠MCB)=180°-(180°-∠A)= 90°+∠A
②2∠P=∠A
理由如下：
∵∠PCD=∠P+∠PBC，∠ACD=∠A+∠ABC
又∵P点是
与外角
的角平分线的交点
∴2∠PCD=∠ACD，2∠PBC=∠ABC
∴2(∠P+∠PBC)= ∠A+∠ABC
∴2∠P+2∠PBC=∠A+∠ABC
∴2∠P+∠ABC=∠A+∠ABC
∴2∠P=∠A
（2）①延长BA交CD的延长线于F
∵∠F=180°-∠FAD-∠FDA=180°-(180°-)-(180°-)=+-180°
由（1）知，∠P=∠F
∴∠P=(+)-90°
②延长CG交BN于H
∵将四边形
沿着直线
翻折得到四边形
∴∠BFG=∠A=，∠CGF=∠D=
∵∠GHN=∠HFG+∠HGF=180°-+180°-
∴∠GHN=360°- (+)，且∠P=(+)-90°
∴∠GHN=360°-(2∠P+180°)=180°-2∠P
∵∠GCN与∠FNC的角平分线交于点Q
由（1）知，∠Q=90°+∠GHN
∴∠Q=90°+(180°-2∠P)=180°-∠P.
故答案为（1）①∠M=90°+∠A；②2∠P=∠A；
（2）①∠P=(+)-90°；②∠Q=180°-∠P.
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