Question

【题目】如图，将等腰Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，其中∠GAE=∠DAB=90°，GE与AD交于点M，过点D作DC∥AB交AE于点C．已知AF平分∠GAM，EH⊥AE交DC于点H，连接FH交DM于点N，若AC=2，则MN的值为______．

Answer 1

【答案】9﹣5．

【解析】

作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，证明△AGF≌△AEM，△AFT≌△AMK得到AF=AM，FT=MK=EK=DM，在RT△ADC中根据已知条件求出CD，AD，设MK=EK=x，根据AE=AK+EK列出方程求出x，在RT△HEC中求出HC，进而求出DH，再根据=，求出DN，利用MN=AD﹣AM﹣DN求出MN．

解：作MK⊥AC，FT⊥AD垂足分别为K，T，

∵Rt△GAE绕点A顺时针旋转60°得到△DAB，

∴∠GAD=∠CAB=60°，

∵∠GAE=∠DAB=90°，AG=AE=AD=AB，

∴∠DAC=30°，∠G=∠AEG=45°，

∵AF平分∠GAD，

∴∠GAF=∠FAT=30°，

在△AGF和△AEM中，

∴△AGF≌△AEM，

∴AF=AM

在△AFT和△AMK中，

∴△AFT≌△AMK，

∴AT=AK，

∵AD=AE，

∴DT=EK，

∵∠KME=∠KEM=45°，

∴MK=EK=DT=FT，

设MK=KE=x，则AK=x，

∵AC=2，∠DAC=30°，

∴DC=，AD=3，∴AE=AD=3，

∴x+x=3

x=，

∴DT=DM=FH=MK=EK=，AM=3（﹣1），EC=2﹣3，

在RT△HEC中，∵∠C=60°，EC=2﹣3，

∴HC=2EC=4﹣6，DH=DC﹣HC=﹣（4﹣6）=6﹣3，

设DN=y，∵DH∥FT，

∴=，

∴y=2﹣3，

∴MN=AD﹣AM﹣DN=3﹣3（﹣1）﹣（2﹣3）=9﹣5．