题目内容

8．如图所示，一艘轮船以20海里/时的速度由西向东航行，途中接到台风警报，台风正以40海里/时的速度由南向北移动，距台风20$\sqrt{2}$海里的圆形区域（包括边界）都属台风区．当轮船到A处时，测得台风中心移到位于点A正南方向B处，且AB=100海里．
（1）若这艘轮船自A处按原速度继续航行，在途中会不会遇到台风？若会，试求轮船最初遇到台风的时间；若不会，请说明理由．
（2）现轮船自A处立即提高船速，向位于东偏北30°，相距60海里的D港驶去，为使在台风到来之前轮船到达D港，问船速至少应提高多少？（提高的船速取整数，$\sqrt{13}$≈3.6）

分析 （1）设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到B点，列出轮船到台风中心的计算公式，求出即可，
（2）由于20$\sqrt{2}$＞60，则当B未到达A点时D已经受到影响，作出图形，根据勾股定理可以得出此时AB的距离，进而得出所用的时间，由AD的距离，则可以得出速度

解答 解：（1）若这艘轮船自A处按原速继续航行，在途中会遇到台风．
设t时刻，轮船行驶到C点，台风中心运动到B点，如图所示：
则可知AC=20t，AB=100-40t，
根据勾股定理得：BC=20$\sqrt{5{t}^{2}-20t+25}$，
当BC=20$\sqrt{2}$时，
整理得出：t2-4t+3=0
解得：t1=1，t2=3，
∵求最初遇台风时间，∴t=1，
即点C在台风影响的范围内，会受到影响，轮船最初遇到台风的时间是行驶1小时．

（2）如图过点D作垂线，D位于东偏北30°，且AD=60，
则可以得出AF=BE=30$\sqrt{3}$，DF=30，
有BD=20$\sqrt{10}$，根据勾股定理得：DE2=BD2-BE2，
代入数据得：DE=10$\sqrt{13}$，∴AB=EF=DE-DF=10$\sqrt{13}$-30，
∴B点运动的距离为100-（10$\sqrt{13}$-30），
∴用时间为$\frac{130-10\sqrt{13}}{40}$≈2.35，
∴轮船的速度为：$\frac{60}{2.35}$≈25.53，
∴船速至少应提高25.53-20≈6海里/时．

点评 本题考查了一元二次方程的应用和勾股定理的运用，对于这类问题要找到临界的点，运用所学的基本知识求解．这就要求对一些小的知识点有很好的掌握．

练习册系列答案
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（3）在（2）的条件下，应采用哪种方案才能使总运费W最少？并求出最少总运费W．
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