题目内容
（2012•黄冈二模）如图，矩形木板ABCD中，长AB=a米，宽BC=b米，要从矩形木板 ABCD上裁下两个相同的半圆面，有如下两种裁法；如图①，点O1、O2在AC上，⊙O1与⊙O2分别与矩形ABCD两边相切；如图②，点O1，O2分别在AB，CD上，⊙O1与⊙O2相切，⊙O1，⊙O2分别与AD，BC相切．
（1）求图①中半圆的半径r的长（用a，b的代数式表示）；
（2）求图②中半圆的半径R的长（用a，b的代数式表示）；
（3）如果用长2米，宽1米和长3米，宽1米的两块矩形木板各做一个圆桌面，每块木板都有上述两种裁法．请问，对这两块木板分别应当采用哪一种裁法，做出的圆桌面较大．
（1）求图①中半圆的半径r的长（用a，b的代数式表示）；
（2）求图②中半圆的半径R的长（用a，b的代数式表示）；
（3）如果用长2米，宽1米和长3米，宽1米的两块矩形木板各做一个圆桌面，每块木板都有上述两种裁法．请问，对这两块木板分别应当采用哪一种裁法，做出的圆桌面较大．
分析：（1）连接O1E，O1F，则四边形DEO1F是正方形，设圆的半径是r，则O1E=O1F=r，则
=
，
=
，两式相加即可得到一个关于r的方程，从而求解；
（2）连接O1O2，作O2F⊥AB于点F，设圆的半径是R，则O2C=BF=R，在直角△O1O2F中，利用勾股定理即可得到关于R的方程，从而求解；
（3）把长宽的值，分别代入（1）和（2）求得的代数式，求值，然后比较即可．
| O1E |
| AD |
| O2C |
| AC |
| r |
| CD |
| AO1 |
| AC |
（2）连接O1O2，作O2F⊥AB于点F，设圆的半径是R，则O2C=BF=R，在直角△O1O2F中，利用勾股定理即可得到关于R的方程，从而求解；
（3）把长宽的值，分别代入（1）和（2）求得的代数式，求值，然后比较即可．
解答：
解：（1）连接O1E，O1F，则四边形DEO1F是正方形，设圆的半径是r，则O1E=O1F=r．
∵O1F∥AD，
∴
=
，即
=
，
同理，
=
，
两式相加得：
+
=1，即
+
=1，解得：r=
；
（2）连接O1O2，作O2F⊥AB于点F，设圆的半径是R，则O2C=BF=R，
在直角△O1O2F中，O1O22=O2F2+O1F2，则（2R）2=b2+（a-2R）2，
解得：R=
；
（3）当长2米，宽1米时，利用第一种作法，半径是：
=
=
米，利用第二种所得半径是：
=
米，
故采用第二种方法，做出的圆桌面较大；
长3米，宽1米，利用第一种作法，半径是：
=
=
米，利用第二种所得半径是：
=
米．
故采用第二种方法，做出的圆桌面较大．
解：（1）连接O1E，O1F，则四边形DEO1F是正方形，设圆的半径是r，则O1E=O1F=r．∵O1F∥AD，
∴
| O1E |
| AD |
| O2C |
| AC |
| r |
| AD |
| O2C |
| AC |
同理，
| r |
| CD |
| AO1 |
| AC |
两式相加得：
| r |
| AD |
| r |
| CD |
| r |
| b |
| r |
| a |
| ab |
| a+b |
（2）连接O1O2，作O2F⊥AB于点F，设圆的半径是R，则O2C=BF=R，
在直角△O1O2F中，O1O22=O2F2+O1F2，则（2R）2=b2+（a-2R）2，
解得：R=
| a2+b2 |
| 4a |
（3）当长2米，宽1米时，利用第一种作法，半径是：
| ab |
| a+b |
| 2×1 |
| 2+1 |
| 2 |
| 3 |
| 22+12 |
| 2×2 |
| 5 |
| 4 |
故采用第二种方法，做出的圆桌面较大；
长3米，宽1米，利用第一种作法，半径是：
| ab |
| a+b |
| 3×1 |
| 3+1 |
| 3 |
| 4 |
| 32+12 |
| 2×3 |
| 5 |
| 3 |
故采用第二种方法，做出的圆桌面较大．
点评：本题考查了平分线分线段成比例定理，勾股定理的综合应用，利用了方程的思想．
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