Question

（2012•黄冈二模）如图，已知D是BC延长线上一点，DE切△ABC的外接圆于E，DE∥AC，AE、BC的延长线交于G，BE交AC于F．
（1）求证：AE²=AB•CD；
（2）若AE=2，EG=6，AB=3，求GD的长．

Answer 1

分析：（1）首先连接EC，由弦切角定理，易证得∠DEC=∠EAC，又由DE∥AC，易证得∠DEC=∠ACE，即可得∠ACE=∠EAC，由等角对等边即可证得AE=EC，易证得△BEA∽△EDC，然后由相似三角形的对应边成比例，即可证得结论；
（2）由（1）可求得CD的长，然后根据平行线分线段成比例定理，即可求得GD的长．

解答：（1）证明：连接EC，
∵DE切△ABC的外接圆于E，
∴∠DEC=∠EAC，
∵DE∥AC，
∴∠ACE=∠DEC，
∴∠ACE=∠EAC，
∴AE=CE，
∵∠ABE=∠ACE，
∴∠ABE=∠DEC，
∵∠ECD+∠BCE=180°，∠BAE+∠BCE=180°，
∴∠BAE=∠ECD，
∴△BEA∽△EDC，
∴

AE

CD

=

AB

EC

，
∴AE•EC=AB•CD，
∴AE²=AB•CD；

（2）解：∵AE=2，AB=3，
∴CD=

AE2

AB

=

4

3

，
∵DE∥AC，EG=6，
∴

EG

AE

=

GD

CD

，
即

6

2

=

GD

4 3

，
解得：GD=4．

点评：此题考查了弦切角定理、等腰三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质以及平行线分线段成比例定理．此题难度较大，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．