Question

【题目】在中，，．点是平面内不与点，重合的任意一点．连接，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，．

（1）观察猜想

如图1，当时，的值是______，直线与直线相交所成的较小角的度数是____________．（提示：求角度时可考虑延长交的延长线于）

（2）类比探究

如图2，当时，请写出的值及直线与直线相交所成的小角的度数，并就图2的情形说明理由．

（3）解决问题

当时，若点，分别是，的中点，点在直线上，请直接写出点，，在同一直线上时的值_______________．

Answer 1

【答案】（1），；（2），理由见解析；（3），

【解析】

（1）如图1中，延长CP交BD的延长线于E，设AB交EC于点O．证明△CAP≌△BAD（SAS），即可解决问题．

（2）如图2中，设BD交AC于点O，BD交PC于点E．证明△DAB∽△PAC，即可解决问题．

（3）分两种情形：①如图3﹣1中，当点D在线段PC上时，延长AD交BC的延长线于H．利用直角三角形斜边上的中线的性质及等边对等角证得BH=BA，∠H=∠BAH，再根据四点共圆的知识求得∠DAC=∠DCA=22.5，证明AD＝DC即可解决问题．

②如图3﹣2中，当点P在线段CD上时，根据三角形中位线的性质结合三线合一的性质证明DA＝DC即可解决问题．

解：（1）如图1中，延长交的延长线于，设交于点．

∵,

∴都是等边三角形，

∴,

∵,，

∴，

在和中，，

，

，，

，

，

，线与直线相交所成的较小角的度数是，

故答案为，.

图1

（2）如图2中，设交于点，交于点．

，

∵

，

∵，

，

，,

∴.

，

，

直线与直线相交所成的小角的度数为．

图2

（3），

如图3﹣1中，当点在线段上时，延长交的延长线于．

图3-1

∵点，分别是，的中点，点在直线上，

，

，

，

，

，

，

，，

，

，

，

，

，

，

，

，

，

，，，四点共圆，

，，

，

，设，则，，

．

如图3﹣2中，当点在线段上时，设AB交CD于G，

∵点，分别是，的中点，点在直线上，

∴点为CG中点，

∵AP⊥CG，

∴AC=AG, ∠ACD=∠AGC，

∵，

∴，设，则，，

，

．

的值是，.

图3-2