题目内容

已知：平行四边形ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程 $数学公式$ 的两个实数根．
（1）求k的取值范围．
（2）当k为何值时，四边形ABCD是菱形？
（3）当k为何值时，四边形ABCD的两条对角线的长相等，且都等于 $数学公式$ ？求出这时四边形ABCD的周长和面积．

解：（1）

∵平行四边形ABCD的两邻边的长m，n是关于x的方程 $\text{[math]}$ 的两个实数根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）≥0，m+n=k＞0，mn= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0，
（k-1）²≥0，k＞0，k＞ $\text{[math]}$ ，
即k的取值范围是k＞ $\text{[math]}$ ；

（2）∵要使四边形是菱形，则m=n，即方程有两个相等的实数根，
∴△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）=0，
即k=1，
∴当k为1时，四边形ABCD是菱形；

（3）∵四边形是平行四边形，且四边形的对角线相等，
∴四边形ABCD是矩形，

∴∠ABC=90°，
由勾股定理得：m²+n²=（ $\text{[math]}$ ）²，
即（m+n）²-2mn= $\text{[math]}$ ，
∵m+n=k，mn= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ，
∴k²-2（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）= $\text{[math]}$ ，
k₁=2，k₂=-1（因为由（1）得出k＞ $\text{[math]}$ ，所以此时的值舍去），
把k=2代入方程得：x²-2x+ $\text{[math]}$ =0，
解方程得：m= $\text{[math]}$ ，n= $\text{[math]}$ 或n= $\text{[math]}$ ，m= $\text{[math]}$ ，
∴矩形ABCD的周长是2×（ $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ ）=4，面积是 $\text{[math]}$ × $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
即此时四边形ABCD的周长是4，面积是 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）根据题意求出△=b²-4ac=（-k）²-4×1×（ $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ）≥0，m+n=k＞0，mn= $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ ＞0，求出不等式组的解集即可；
（2）根据菱形的性质得出m=n，即可得出方程有两个相等的实数根，即△=0，求出即可；
（3）得出四边形是矩形，根据勾股定理和根与系数的关系求出k，求出方程的解，即可求出矩形的周长和面积．
点评：本题考查了平行四边形的性质，菱形的性质，矩形的性质和判定的综合运用．