Question

如图，△ABC内有一点K，过K引三边的平行线与三边交成的线段，有同一长度x，如果BC、AC、AB长度分别为a、b、c，试求x．

Answer 1

分析：在△ABC中有三个平行四边形，把它们的边分别表示出来，同时还有三个三角形与△ABC相似，根据对应线段的比相等进行计算可以求出x的值．

解答：解：如图：
在△ABC内有三个平行四边形，分别把它们的边用d，e，f，g，m，n表示．
同时在△ABC中有三个三角形与△ABC相似，则有：

x

a

=

g

b

=

n

c

，

x

b

=

m

c

=

f

a

，

x

c

=

e

a

=

d

b

．
∴

x

a

+

x

b

+

x

c

=

g

b

+

m

c

+

e

a

=

n

c

+

f

a

+

d

b

．
∴

x

a

+

x

b

+

x

c

=

1

2

（

e+f

a

+

d+g

b

+

m+n

c

），
=

1

2

（1-

x

a

+1-

x

b

+1-

x

c

），
整理得：

x

a

+

x

b

+

x

c

=1，

1

x

=

1

a

+

1

b

+

1

c

=

bc+ac+ab

abc

，
∴x=

abc

ab+bc+ac

．

点评：本题考查的是相似三角形的判定与性质，根据平行线可以判定图中有三个三角形与原来的三角形相似，另外还有三个是平行四边形，根据相似三角形和平行四边形的性质进行计算求出X的值．