Question

14．如图，点O是∠APB角平分线CP上一点，⊙O与PA相切于点E．
（1）如图1，求证：PB是⊙O的切线；
（2）如图2，若⊙O的半径为1，∠APB=60°，点D为⊙O上一点，且∠PDE=90°，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）连OE，作OF⊥PB于F，由角平分线的性质可得OE=OF，则可证得结论；
（2）如图2，延长PD交⊙O 于G，连接EG，根据已知条件得到∠EDG=90°，推出EG是⊙O的直径，根据圆周角定理得到∠GEP=90°，根据切线的性质得到∠APC=30°，解直角三角形得到PE=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$，根据勾股定理得到PG=$\sqrt{P{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，由切割线定理即可得到结论．

解答 （1）证明：如图1，连接OE，作OF⊥PB于F，
∵⊙O与PA相切于点E，
∴OE⊥PA，
∵OP是∠APB的角平分线，
∴OF=OE，
∴PB是⊙O的切线；

（2）如图2，延长PD交⊙O 于G，连接EG，
∵∠PDE=90°，
∴∠EDG=90°，
∴EG是⊙O的直径，
∴∠GEP=90°，
∵PA，PB是⊙O的切线，∠APB=60°，
∴∠APC=30°，
∴PE=$\sqrt{3}$OE=$\sqrt{3}$，
∴PG=$\sqrt{P{E}^{2}+E{G}^{2}}$=$\sqrt{7}$，
∵PE²=PD•PG，
∴PD=$\frac{3}{\sqrt{7}}$=$\frac{3\sqrt{7}}{7}$，
∴DE=$\sqrt{P{E}^{2}-P{D}^{2}}$=$\frac{2\sqrt{21}}{7}$．

点评 本题考查了切线的判定和性质，勾股定理，切割线定理，正确的作出辅助线是解题的关键．