Question

某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：

设∠BAC=（0°＜＜90°）.现把小棒依次摆放在两射线之间，并使小棒两端分别落在射线AB，AC上.

活动一：

  如图甲所示，从点A₁开始，依次向右摆放小棒，使小棒与小棒在端点处互相垂直. （A₁A₂为第1根小棒）

数学思考：

（1）小棒能无限摆下去吗？答：          .(填“能”或“不能”)

（2）设AA₁=A₁A₂=A₂A₃=1.

①=_________度；

②若记小棒A_2n-1A2n的长度为a_n（n为正整数，如A₁A₂=a₁，A₃A₄=a₂，…）， 求出此时a₂，a₃的值，并直接写出a_n（用含n的式子表示）.

活动二：

如图乙所示，从点A₁开始，用等长的小棒依次向右摆放，其中A₁A₂为第一根小棒，且A₁A₂=AA₁.

数学思考：

（3）若已经摆放了3根小棒，则₁ =_________，₂=________， ₃=________；（用含 的式子表示）

（4）若只能摆放4根小棒，求的范围.

Answer 1

解: （１）能．                             

      （２）① 22.5°.                        

            ②方法一

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

              ∴A₁A₃=，AA₃=.

              又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆，

∴∠A=∠AA₂A₁=∠AA₄A₃=∠AA₆A₅，

∴AA₃=A₃A₄，AA₅=A₅A₆

              ∴a₂=A₃A₄=AA₃=，

                a₃=AA₃+ A₃A₅=a₂+ A₃A₅.     

∵A₃A₅=a₂，

              ∴a₃=A₅A₆=AA₅=. 

方法二

∵A A₁=A₁A₂=A₂A₃=1，A₁A₂⊥A₂A₃，

              ∴A₁A₃=，AA₃=.

              又∵A₂A₃⊥A₃A₄ ，∴A₁A₂∥A₃A₄.

同理：A₃A₄∥A₅A₆.

∴∠A₂A₃A₄=∠A₄A₅A₆=90°，∠A₂A₄A₃=∠A₄ A₆A₅，

              ∴△A₂A₃A₄∽△A₄A₅A₆，

              ∴，∴a₃=.  

                                 …

（３）                          

                                     

                                   

（４）由题意得：

       ∴.