Question

13．如图，在△ABC中，∠C=90°，以A为圆心，任意长为半径作弧，分别交AC、AB于点M、N，再分别以M、N为圆心，以大于$\frac{1}{2}$MN为半径作弧，两弧交于点O，作射线AO，交BC于点E．已知CE=3，BE=5，则AC的长为6．

Answer 1

分析 直接利用基本作图方法得出AE是∠CAB的平分线，进而结合全等三角形的判定与性质得出AC=AD，再利用勾股定理得出AC的长．

解答 解：过点E作ED⊥AB于点D，
由作图方法可得出AE是∠CAB的平分线，
∵EC⊥AC，ED⊥AB，
∴EC=ED=3，
在Rt△ACE和Rt△ADE中，
$\left\{\begin{array}{l}{AE=AE}\\{EC=ED}\end{array}\right.$，
∴Rt△ACE≌Rt△ADE（HL），
∴AC=AD，
∵在Rt△EDB中，DE=3，BE=5，
∴BD=4，
设AC=x，则AB=4+x，
故在Rt△ACB中，
AC²+BC²=AB²，
即x²+8²=（x+4）²，
解得：x=6，
即AC的长为：6．
故答案为：6．

点评 此题主要考查了基本作图以及全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确得出BD的长是解题关键．