Question

【题目】如图所示，在平面直角坐标系中，抛物线的顶点坐标为，并与轴交于点，点是对称轴与轴的交点．

(1)求抛物线的解析式;

(2)如图①所示, 是抛物线上的一个动点,且位于第一象限，连结BP、AP,求的面积的最大值;

(3)如图②所示，在对称轴的右侧作交抛物线于点,求出点的坐标;并探究:在轴上是否存在点,使?若存在，求点的坐标;若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）；（2）当时，最大值为；（3）存在，点坐标为，理由见解析

【解析】

(1)利用待定系数法可求出二次函数的解析式；

(2)求三角形面积的最值，先求出三角形面积的函数式.从图形上看S△PAB=S△BPO+S△APO-S△AOB,设P求出关于n的函数式，从而求S△PAB的最大值.

(3) 求点D的坐标，设D,过D做DG垂直于AC于G,构造直角三角形，利用勾股定理或三角函数值来求t的值即得D的坐标;探究在y轴上是否存在点,使?根据以上条件和结论可知∠CAD=120°,是∠CQD的2倍，联想到同弧所对的圆周角和圆心角，所以以A为圆心，AO长为半径做圆交y轴与点Q,若能求出这样的点，就存在Q点.

解：抛物线顶点为

可设抛物线解析式为

将代入得

抛物线，即

连接，

设点坐标为

当时，最大值为

存在，设点D的坐标为

过作对称轴的垂线，垂足为,

则

在中有

化简得

（舍去），

∴点D(,-3)

连接，在中

在以为圆心，为半径的圆与轴的交点上

此时

设点为(0,m), AQ为的半径

则AQ=OQ+OA, 6=m+3

即

∴

综上所述，点坐标为

故存在点Q，且这样的点有两个点.