题目内容
如图，已知二次函数
（其中0＜m＜1）的图像与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，对称轴为直线l．设P为对称轴l上的点，连接PA、PC，PA=PC．
（1）∠ABC的度数为 °；
（2）求P点坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在坐标轴上是否存在点Q（与原点O不重合），使得以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，且线段PQ的长度最小？如果存在，求出所有满足条件的点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．
解：（1）45．
理由如下：令x=0，则y=-m，C点坐标为（0，-m）．
令y=0，则
，解得
，
．
∵0＜m＜1，点A在点B的左侧，
∴B点坐标为（m，0）．∴OB=OC=m．
∵∠BOC＝90°，∴△BOC是等腰直角三角形，∠OBC＝45°．
（2）解法一：如图①，作PD⊥y轴，垂足为D，设l与x轴交于点E，
由题意得，抛物线的对称轴为
．
设点P坐标为（
，n）．
∵PA= PC， ∴PA2= PC2，即AE2+ PE2=CD2+ PD2．
∴
．
解得
．∴P点的坐标为
．
解法二：连接PB．
由题意得，抛物线的对称轴为．
∵P在对称轴l上，∴PA=PB．
∵PA=PC，∴PB=PC．
∵△BOC是等腰直角三角形，且OB=OC，
∴P在BC的垂直平分线
上．
∴P点即为对称轴与直线的交点．
∴P点的坐标为．
（3）解法一：存在点Q满足题意．
∵P点的坐标为
，
∴PA2+ PC2=AE2+ PE2+CD2+ PD2
=
．
∵AC2=
，∴PA2+ PC2=AC2．∴∠APC＝90°．
∴△PAC是等腰直角三角形．
∵以Q、B、C为顶点的三角形与△PAC相似，
∴△QBC是等腰直角三角形．
∴由题意知满足条件的点Q的坐标为（-m，0）或（0，m）．
①如图①，当Q点的坐标为（-m，0）时，
若PQ与x轴垂直，则
，解得
，PQ=
．
若PQ与x轴不垂直，
则
．
∵0＜m＜1，∴当
时，
取得最小值
，PQ取得最小值
．
∵＜，
∴当，即Q点的坐标为（
，0）时， PQ的长度最小．
②如图②，当Q点的坐标为（0，m）时，
若PQ与y轴垂直，则
，解得，PQ=．
若PQ与y轴不垂直，
则
．
∵0＜m＜1，∴当时，取得最小值，PQ取得最小值．
∵＜，
∴当，即Q点的坐标为（0，
）时， PQ的长度最小．
综上：当Q点坐标为（，0）或（0，）时，PQ的长度最小．
解法二： 如图①，由（2）知P为△ABC的外接圆的圆心．
∵∠APC 与∠ABC对应同一条弧
，且∠ABC＝45°，
∴∠APC＝2∠ABC＝90°．
下面解题步骤同解法一．
第1卷单元月考期中期末系列答案
的度数，结果为
，下列结论不正确的是