Question

如图，Rt△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC于D，BG平分∠ABC，EF∥BC，交AC于F，求证：AE=CF．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,角平分线的性质

专题：证明题

分析：过E作EH∥CF交BC于H，可得四边形EHCF是平行四边形，则HE=CF，需证AE=HE，可通过证明△ABE≌△HBE（ASA）证得．

解答：解：AE=CF．
理由：过E作EH∥CF交BC于H，
∴∠3=∠C，
∵∠BAC=90°，AD⊥BC，
∴∠ABC+∠C=90°，∠ABD+∠BAD=90°，
∴∠C=∠BAD，
∴∠3=∠BAD，
在△ABE和△HBE中

∠2=∠1 BE=BE ∠BAE=∠3

，
∴△ABE≌△HBE（AAS），
∴AE=HE，
∵EF∥BC，EH∥CF，
∴四边形EHCF是平行四边形，
∴HE=CF，
∴AE=CF．

点评：此题主要考查平行四边形的判定和性质以及全等三角形的判定，熟练掌握性质定理和判定定理是解题的关键，平行四边形的五种判定方法与平行四边形的性质相呼应，每种方法都对应着一种性质，在应用时应注意它们的区别与联系．