题目内容

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC=2cm，∠B=60°．梯形ABCD的周长记为L，面积记为S．
（1）L=cm，S=cm²
（2）E，F分别为AD，BC边上的动点，连接EF，设BF=xcm，△BEF面积为ycm²， $数学公式$
①试用含x的代数表示y；
②如果 $数学公式$ = $数学公式$ ，且k为整数，求BF的长．

解：（1）过点D作DM∥AB，DN⊥BC，分别交BC于点M、N，
∴四边形ABMD是平行四边形，
∴BM=AD，
∵AB=AD=DC=2cm，∠B=60°，
∴△CDM是等边三角形，
∴CM=2，
∴L=2+2+4+2=10，
∴DN= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴S=（2+4）× $\text{[math]}$ ÷2=3 $\text{[math]}$ ；

（2）①∵2y= $\text{[math]}$ x，
∴y= $\text{[math]}$ x；
②∵ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，
∴ky=S，
∴k× $\text{[math]}$ x=3 $\text{[math]}$ ，
∴x= $\text{[math]}$ ，
∵0＜x≤6，k为整数，
∴x=1，2，3，6．
即BF的长为：1cm、2cm、3cm或6cm．
分析：（1）过点D作DM∥AB，DN⊥BC，分别交BC于点M、N，四边形ABMD是平行四边形，由∠B=60°，得△CDM是等边三角形，DN= $\text{[math]}$ ，再求得梯形ABCD的周长，面积；
（2）①根据三角形BEF的高与梯形ABCD的高相等，列出等式2y= $\text{[math]}$ x，从而用含x的代数表示y；
②根据 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ，将已知量代入，即得到x的值．
点评：本题考查了平行四边形的判定，梯形周长，面积的计算，及函数思想．