Question

在平面直角坐标系中，A点坐标为（0，6），M点坐标为（8，0）．P是射线AM上一点，PB⊥x轴，垂足为B．设AP=a．
（1）求AM的长；
（2）设点D是x轴上一点，连结AD、PD．若△OAD与△BDP相似，试探究满足条件的点D的个数（直接写出点D的个数及相应的a的取值范围，不必说明理由）．

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,坐标与图形性质

专题：

分析：（1）由点的坐标可得OA=6，OB=8，则AM的值可以求得．
（2）首先设切点为D．连接CD，易得Rt△CDM∽Rt△AOM，则

CD

AO

=

MC

MA

，代入求得a的值．再结合图形，分三种情况探究满足条件的点D的个数．

解答：解：（1）∵A点坐标为（0，6），M点坐标为（8，0）．
∴OA=6，OM=8，
∴AM=

AO2+OM2

=10．
（2）由题意知⊙C与x轴相切，
设切点为E．连接CE，则CE⊥x轴，且CE=

1

2

a易证Rt△CEM∽Rt△AOM，
所以则

CD

AO

=

MC

MA

=，
解得a=

15

2

．
①当0＜a＜

15

2

时，满足条件的D点有2个；
②当a=

15

2

时，满足条件的D点有3个；
③当a＞

15

2

且a≠10时，满足条件的D点有4个．

点评：本题考查了相似三角形的判定与性质以及勾股定理的运用，结合图形，掌握各图形的性质灵活运用是解题的关键．