Question

12．已知△ABC内接于⊙O，过点A作直线EF．
（1）如图①，AB是直径，要使EF是⊙O的切线，还须添加一个条件是（只需写出三种情况）．
（ī）EF⊥AB  （īī）∠BAE=90°（īīī）∠ABC=∠EAC
（2）如图（2），若AB为非直径的弦，∠CAE=∠B，则EF是⊙O的切线吗？为什么？

Answer 1

分析 （1）根据切线的判断由AB⊥EF或∠BAE=90°可判断EF为⊙O的切线；
当∠ABC=∠EAC，根据圆周角定理得∠ABC+∠CAB=90°，所以∠EAC+∠CAB=90°，即AB⊥EF，于是也可判断EF为⊙O的切线；
（2）作直径AD，连结CD，由AD为直径得∠ACD=90°，则∠D+∠CAD=90°，根据圆周角定理得∠D=∠B，而∠CAE=∠B，所以∠CAE=∠D，则∠EAC+∠CAD=90°，根据切线的判定定理得到EF为⊙O的切线；

解答 （1）解：如图1中，当AB⊥EF或∠BAE=90°可判断EF为⊙O的切线；
当∠ABC=∠EAC，∵AB为直径，
∴∠ACB=90°，
∴∠ABC+∠CAB=90°，
∴∠EAC+∠CAB=90°，
∴AB⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；
故答案为AB⊥EF、∠BAE=90°、∠ABC=∠EAC；

（2）证明：如图2，作直径AD，连结CD，
∵AD为直径，
∴∠ACD=90°，
∴∠D+∠CAD=90°，
∵∠D=∠B，∠CAE=∠B，
∴∠CAE=∠D，
∴∠EAC+∠CAD=90°，
∴AD⊥EF，
∴EF为⊙O的切线；

点评 本题考查了圆周角定理，切线的判定的应用，主要考查学生运用定理进行推理的能力，注意：经过半径的外端，并且垂直于半径的直线是圆的切线．