题目内容

如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AC，BD相交于点O，过O作BC的平行线分别交AB，CD于点E，F．
（1）求证：OE=OF；
（2）若AD=3，BC=4，求EF的长．

（1）证明：∵AD∥BC，
∴△AOE∽△ABC，△DOF∽△DBC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
又∵由AD∥BC得，△ACD∽△OCF，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴OE=OF；

（2）解：∵AD∥BC，
∴△AOD∽△BOC，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵BC=4，
∴ $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
解得OE= $\text{[math]}$ ，
∴EF=OE+OF= $\text{[math]}$ + $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ．
分析：（1）由△AOE和△ABC相似可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由△DOF和△DBC相似可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，由△ACD和△OCF相似可得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，从而得到 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，即可得证；
（2）根据△AOD和△BOC相似求出 $\text{[math]}$ ，再求出 $\text{[math]}$ ，然后求出OE，根据EF=OE+OF即可．
点评：本题考查了相似三角形的判定与性质，根据平行得到三角形相似是解题的关键，也是本题考查的重点．