Question

4．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BB₁∥AC，动点D从点A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发，沿射线AC方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB₁于F，G是EF中点，连接DG，设点D运动的时间为t秒．
（1）当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度；
（2）当AD＜AE时，若△DEG与△ACB相似，求t的值；
（3）以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′．
①当t＞$\frac{3}{5}$时，连接C′C，得到梯形ACC′A′，设梯形ACC′A′的面积为S，求S关于t的函数关系式；
②当线段A′C′与射线BB′，有公共点时，求t的取值范围（写出答案即可）．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理求出AB=5，再用AD=AB建立方程求出t，即可得出结论；
（2）先求出GE，再分两种情况利用相似三角形得出的比例式建立方程求解即可；
（3）①先判断出△AHD∽△ACB得出比例式即可表示出AD=5t，AH=3t，DH=4t，再用等角的同名三角函数建立方程得出CO，即可AA'，CC'，OD，继而得出OH，即可得出结论；
②找出当线段A′C′与射线BB′，有公共点时的分界点，确定出分界点时的时间即可得出结论．

解答 解：（1）∵∠ACB=90°，AC=3，BC=4，
∴AB=5，
∴AD=5t，CE=3t，
当AD=AB时，5t=5，
∴t=1，
∴AE=AC+CE=3+3t=6，
∴DE=6-5=1；

（2）易得，四边形BCEF是矩形，
∴EF=BC=4，G是EF中点，
∴GE=2，
当AD＜AE时，DE=AE-AD=3+3t-5t=3-2t，
当△DEG∽△ACB时，$\frac{DE}{AC}=\frac{EG}{BC}$，
∴$\frac{3-2t}{3}=\frac{2}{4}$，
∴t=$\frac{3}{4}$，
当△DEG∽△ACB时，$\frac{DE}{BC}=\frac{EG}{AC}$，
∴$\frac{3-2t}{4}=\frac{2}{3}$，
∴t=$\frac{1}{6}$，
即：当AD＜AE时，若△DEG与△ACB相似，t的值为$\frac{3}{4}$或$\frac{1}{6}$；

（3）①如图1，
由轴对称得，AA'⊥DH，CC'⊥DH，AA'=2AH，CC'=2CO，
∵∠A=∠AA'C'，∠AHD=∠ACB=90°，
∴△AHD∽△ACB，
∴$\frac{AH}{AC}=\frac{DH}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{AH}{3}=\frac{DH}{4}=\frac{AD}{5}$，
∵AD=5t，
∴AH=3t，DH=4t，
∵sin∠ADH=sin∠CDO，
∴$\frac{AH}{AD}=\frac{CO}{CD}$，
∴$\frac{3}{5}=\frac{CO}{5t-3}$，
∴CO=3t-$\frac{9}{5}$，
∴AA'=2AH=6t，CC'=2CO=6t-$\frac{18}{5}$，
∵OD=CD•cos∠CDO=（5t-3）×$\frac{4}{5}$=4t-$\frac{12}{5}$，
∴OH=DH-OD=$\frac{12}{5}$，
∴S=$\frac{1}{2}$（AA'+CC'）•OH=$\frac{1}{2}$（6t+6t-$\frac{18}{5}$）=$\frac{72}{5}$t-$\frac{108}{25}$；

当点A'落在射线BB'上时，
如图2，连接BD，
AA'=AB=5，
∴6t=5，
∴t=$\frac{5}{6}$，

当点C'落在射线BB'上时，
如图3，
连接CC'，DC'，
易得，CC'∥AB，
∴四边形ACC'B是平行四边形，
∴CC'=AB=5，
∴6t-$\frac{18}{5}$=5，
∴t=$\frac{43}{30}$，
∴$\frac{5}{6}$≤t≤$\frac{43}{30}$．

点评 此题是相似形综合题，主要考查了矩形的判定和性质，相似三角形的判定的判断和性质，锐角三角函数的定义，平行四边形的判定和性质，梯形的面积公式，解（1）的关键是用AD=AB建立方程，解（2）的关键是分类讨论，解（3）的关键求出OH，是一道中考压轴题．