Question

9．正方形ABCD的对角线交于点O，AE是△ABC的角平分线，AE交BD于F，G为AB上一点，且BG=BE，
（1）求证：GE=EC；
（2）已知BE=2cm，求OF的长．

Answer 1

分析 （1）首先过点E作EH⊥AC于点H，由正方形ABCD的对角线交于点O，AE是△ABC的角平分线，易得BE=EH，又由△BGE与△CEH是等腰直角三角形，即可得EG=EC；
（2）首先证得△AOF∽△ABE，然后由相似三角形的对应边成比例，求得答案．

解答 （1）证明：过点E作EH⊥AC于点H，
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB⊥BE，
∵AE是△ABC的角平分线，
∴BE=EH，
∵BG=BE，
∴GE=$\sqrt{2}$BE，
∵∠ACB=45°，
∴EC=$\sqrt{2}$EH，
∴GE=EC；

（2）解：∵AE是△ABC的角平分线，
∴∠BAE=∠CAE，
∵∠AOB=∠ABE=90°，
∴△AOF∽△ABE，
∴$\frac{OF}{BE}=\frac{OA}{AB}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∵BE=2cm，
∴OF=$\sqrt{2}$cm．

点评 此题考查了正方形的性质、等腰直角三角形的性质、角平分线的性质以及相似三角形的判定与性质．注意准确作出辅助线是解此题的关键．