Question

6．如图，等边△ABC内接于⊙O，BD切⊙O于B，AD⊥BD于D，AD交⊙O于E，⊙O的半径为1，则AE=1．

Answer 1

分析 作OH⊥BC，OF⊥AD，连结OB、OC、DE，根据等边三角形的性质得∠BOC=120°，则∠OBC=30°，可计算得OH=$\frac{1}{2}$，BH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，再根据垂径定理得BC=2BH=$\sqrt{3}$；然后根据切线的性质得OB⊥DB，易判断四边形BDFO为矩形，则DF=OB=1，设AF=x，则EF=x，DE=1-x，AD=1+x，接着根据切割线定理得到BD²=1-x²，然后在Rt△ABD中利用根据定理可得到（1+x）²+1-x²=（$\sqrt{3}$）²，解得x=$\frac{1}{2}$，由此得到AE=2x=1．

解答 解：如图所示：作OH⊥BC，OF⊥AD，连结OB、OC、DE．
∵△ABC为等边三角形，
∴∠BOC=120°．
∴∠OBC=30°．
在Rt△OBH中，OH=$\frac{1}{2}$OB=$\frac{1}{2}$，
∴BH=$\sqrt{3}$OH=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∵OH⊥BC，
∴BH=CH．
∴BC=2BH=$\sqrt{3}$，
∴AB=$\sqrt{3}$．
∵BD切⊙O于B，
∴OB⊥DB．
∵AD⊥BD，OH⊥BC，
∴∠OBD=∠D=∠DFO=90°，且AF=EF．
∴四边形BDFO为矩形．
∴DF=OB=1．
设AF=x，则EF=x，DE=1-x，AD=1+x，
∵BD⊙O的切线，
∴BD²=DE•DA=（1-x）（1+x）=1-x²．
在Rt△ABD中，AD²+BD²=AB²，
∴（1+x）²+1-x²=（$\sqrt{3}$）²，解得x=$\frac{1}{2}$．
∴AE=2x=1．
故答案为：1．

点评 本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径．也考查了垂径定理、勾股定理、切割线定理和等边三角形性质，掌握本题的辅助线的作法是解题的关键．