Question

【题目】如图，边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，点P是抛物线上点A、C间的一个动点（含端点），过点P作PF⊥BC于点F，点D、E的坐标分别为（0，6），（﹣4，0），连接PD，PE，DE．

（1）求抛物线的解析式；

（2）小明探究点P的位置是发现：当点P与点A或点C重合时，PD与PF的差为定值，进而猜想：对于任意一点P，PD与PF的差为定值，请你判定该猜想是否正确，并说明理由；

（3）请直接写出△PDE周长的最大值和最小值．

Answer 1

【答案】（1）y＝﹣x2+8；（2）正确，d＝|PD﹣PF|为定值2；理由见解析；（3）△PDE周长的最大值是2+14，最小值是2+10．

【解析】

（1）利用待定系数法求出抛物线解析式即可；

（2）首先表示出P，F点坐标，再利用两点之间距离公式得出PD，PF的长，进而求出即可；

（3）过E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，求得C△PDE＝ED＋PE＋PD＝ED＋PE＋PF＋2＝ED＋2＋（PE＋PF），当P、E、F三点共线时，PE＋PF最小；当P与A重合时，PE＋PF最大；即可解答．

（1）∵边长为8的正方形OABC的两边在坐标轴上，以点C为顶点的抛物线经过点A，

∴C（0，8），A（﹣8，0），

设抛物线解析式为：y＝ax2+c，

则，

解得：．

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+8．

（2）设P（x，﹣x2+8），则F（x，8），

则PF＝8﹣（﹣x2+8）＝x2．

PD2＝x2+[6﹣（﹣x2+8）]2＝x4+x2+4＝（x2+2）2

∴PD＝x2+2，

∴d＝|PD﹣PF|＝|x2+2﹣x2|＝2

∴d＝|PD﹣PF|为定值2；

（3）如图，过点E作EF⊥x轴，交抛物线于点P，

由d＝|PD﹣PF|为定值2，

得C△PDE＝ED+PE+PD＝ED+PE+PF+2＝ED+2+（PE+PF），

又∵D（0，6），E（﹣4，0）

∴DE＝．

∴C△PDE＝2+2+（PE+PF），

当PE和PF在同一直线时PE+PF最小，

得C△PDE最小值＝2+2+8＝2 +10．

设P为抛物线AC上异于点A的任意一点，过P作PM∥x轴，交AB于点M，连接ME，如图2．

由于E是AO的中点，易证得ME≥PE（当点P接近点A时，在△PME中，显然∠MPE是钝角，故ME≥PE，与A重合时，等号成立），而ME≤AE+AM，

所以PE≤AE+AM．

所以当P与A重合时，PE+PF最大，

AE＝8﹣4＝4，PD＝＝10．

得C△PDE最大值＝2+4+10＝2+14．

综上所述，△PDE周长的最大值是2+14，最小值是2+10．