Question

【题目】如图，抛物线y＝x2在第一象限内经过的整数点（横坐标，纵坐标都为整数的点）依次为A1，A2，A3，…An，…，将抛物线y＝x2沿直线L：y＝x向上平移，得一系列抛物线，且满足下列条件：

①抛物线的顶点M1，M2，M3，…Mn，…都在直线L：y＝x上；

②抛物线依次经过点A1，A2，A3…An，…．

则M2016顶点的坐标为________．

Answer 1

【答案】（4031，4031）

【解析】

根据抛物线的解析式，结合整数点的定义，找出点的坐标为，设点的坐标为（a,a）,则以点为顶点的抛物线的解析式为，由点的坐标可求出a值，可发现规律，根据规律可求出答案.

解：M1（a1，a1）是抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1的顶点，

抛物线y＝x2与抛物线y1＝（x﹣a1）2+a1相交于A1，

得x2＝（x﹣a1）2+a1，

即2a1x＝a12+a1，

x＝（a1+1）．

∵x为整数点，

∴a1＝1，

M1（1，1）；

M2（a2，a2）是抛物线y2＝（x﹣a2）2+a2＝x2﹣2a2x+a22+a2顶点，

抛物线y＝x2与y2相交于A2，

x2＝x2﹣2a2x+a22+a2，

∴2a2x＝a22+a2，

x＝（a2+1）．

∵x为整数点，

∴a2＝3，

M2（3，3），

M3（a3，a3）是抛物线y2＝（x﹣a3）2+a3＝x2﹣2a3x+a32+a3顶点，

抛物线y＝x2与y3相交于A3，

x2＝x2﹣2a3x+a32+a3，

∴2a3x＝a32+a3，

x＝（a3+1）．

∵x为整数点，

∴a3＝5，M3（5，5），

∴点M2016的坐标为：2016×2﹣1＝4031，

∴M2016（4031，4031），

故答案是：（4031，4031）．