Question

9．现有一张边长为20cm的正方形纸片，你能用这张纸片制成一个表面积尽可能大的有底圆锥吗？说明你的做法并计算圆锥的表面积．

Answer 1

分析 首先根据题意作出图形，然后利用圆锥的有关计算公式进行计算即可．

解答 解：做法：
（1）通过分析、比较确定符合条件的扇形、圆与正方形的位置关系，并画出示意图，如图所示．
（2）通过它们的位置关系计算出扇形和圆的半径，并根据计算结果在纸片上画出截剪线．
（3）剪下符合条件的扇形与圆，用扇形作侧面，圆作底面粘接成圆锥．
　　　　　　 　
其表面积的计算过程是：
如上图所示，设扇形的半径为Rcm，⊙O的半径为r cm，M、N均为切点，
连接OM、ON．则有OM⊥BC，ON⊥DC．
∵OM=ON=r．
∴四边形OMCN为正方形．
∴OC=$\sqrt{2}$r．
∵AC=AG+GO+OC，AC=$\sqrt{2}$AB=20$\sqrt{2}$cm，
∴R+r+$\sqrt{2}$r=20$\sqrt{2}$．　 ①
∵$\widehat{EF}$的弧长等于⊙O的周长，
∴$\frac{1}{4}$×2πR=2πr，即R=4r．　　 ②
由①②得r=$\frac{20\sqrt{2}}{5+\sqrt{2}}$≈4.41，
∴S表=S扇+S底=$\frac{1}{4}$πR²+πr²=5πr²=5×3.14×4.41²≈305cm²．
故所做圆锥的表面积约为305.3cm²．

点评 考查了圆锥的计算，解题的关键是能够作出图形并利用有关公式进行正确的计算，难度不大．