题目内容
如图1，已知线段AB=8，点C是AB上的一动点（不包括A、B），在AB同侧作两个等边三角形ACD和BCE，连DE，点P、F分别是DE和BE的中点，连接AF，分别交DC、CE于G、H．
（1）写出图中所有的相似三角形（除等边三角形ACD和BCE外）；
（2）当点C在AB中点时，如图2，求CP的长及AG：GH：HF；
（3）点M、N是线段AB上两点，且AM=BN=2，当点C从点M向点N运动时，求点P所经过的路径长．
解：（1）△ADG∽△HCG∽△HEF（三对），△ACG∽△ABF，
（2）∵△ACD和△BCE是等边三角形，点C在AB中点
∴∠DCA=∠EDB=60°，CD=AC=BC=CE，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
又∵P为DE的中点，
∴CP=
DE=2
，
∵CD∥BE，
∴AG：GF=AC：BC=1，CG：BF=
，
∴AG=GF，CG=BF=1，
又∵△HCG∽△HEF，
∴GH：HF=CG：EF=，
∴AG：GH：HF=3：1：2，
（3）点A点为原点，AB为x轴，垂直为AB的线为y轴．
C点在M点时，D的坐标为（1，），E的坐标为（5，3），则P点坐标为（3，2）
C点在N点时，D'的坐标为（3，3），E'的坐标为（7，），则P‘点的坐标为（5，2）．
由P，P′点的坐标可求出P的路径为5-3=2．
故点P所经过的路径长为2．
分析：（1）根据等边三角形的性质，由AA可得图中所有的相似三角形；
（2）根据等边三角形的性质和中点的定义，可得△CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可求CP的长，根据相似三角形的性质可得AG：GH：HF的值；
（3）用坐标点位置求P的路径，先得到P，P′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，综合性较强，有一定的难度．
（2）∵△ACD和△BCE是等边三角形，点C在AB中点
∴∠DCA=∠EDB=60°，CD=AC=BC=CE，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
又∵P为DE的中点，
∴CP=
DE=2，∵CD∥BE，
∴AG：GF=AC：BC=1，CG：BF=
，∴AG=GF，CG=
BF=1，又∵△HCG∽△HEF，
∴GH：HF=CG：EF=
，∴AG：GH：HF=3：1：2，
（3）点A点为原点，AB为x轴，垂直为AB的线为y轴．
C点在M点时，D的坐标为（1，
），E的坐标为（5，3），则P点坐标为（3，2）C点在N点时，D'的坐标为（3，3
），E'的坐标为（7，），则P‘点的坐标为（5，2）．由P，P′点的坐标可求出P的路径为5-3=2．
故点P所经过的路径长为2．
分析：（1）根据等边三角形的性质，由AA可得图中所有的相似三角形；
（2）根据等边三角形的性质和中点的定义，可得△CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可求CP的长，根据相似三角形的性质可得AG：GH：HF的值；
（3）用坐标点位置求P的路径，先得到P，P′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，综合性较强，有一定的难度．
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