题目内容

如图1，已知线段AB=8，点C是AB上的一动点（不包括A、B），在AB同侧作两个等边三角形ACD和BCE，连DE，点P、F分别是DE和BE的中点，连接AF，分别交DC、CE于G、H．
（1）写出图中所有的相似三角形（除等边三角形ACD和BCE外）；
（2）当点C在AB中点时，如图2，求CP的长及AG：GH：HF；
（3）点M、N是线段AB上两点，且AM=BN=2，当点C从点M向点N运动时，求点P所经过的路径长．
分析：（1）根据等边三角形的性质，由AA可得图中所有的相似三角形；
（2）根据等边三角形的性质和中点的定义，可得△CDE是等边三角形，根据等边三角形的性质可求CP的长，根据相似三角形的性质可得AG：GH：HF的值；
（3）用坐标点位置求P的路径，先得到P，P′点的坐标，再根据两点间的距离公式即可求解．
解答：解：（1）△ADG∽△HCG∽△HEF（三对），△ACG∽△ABF，

（2）∵△ACD和△BCE是等边三角形，点C在AB中点
∴∠DCA=∠EDB=60°，CD=AC=BC=CE，
∴∠DCE=60°，
∴△CDE是等边三角形，
又∵P为DE的中点，
∴CP=
3
2
DE=2
3
，
∵CD∥BE，
∴AG：GF=AC：BC=1，CG：BF=
1
2
，
∴AG=GF，CG=
1
2
BF=1，
又∵△HCG∽△HEF，
∴GH：HF=CG：EF=
1
2
，
∴AG：GH：HF=3：1：2，

（3）点A点为原点，AB为x轴，垂直为AB的线为y轴．
C点在M点时，D的坐标为（1，
3
），E的坐标为（5，3
3
），则P点坐标为（3，2
3
）
C点在N点时，D'的坐标为（3，3
3
），E'的坐标为（7，
3
），则P‘点的坐标为（5，2
3
）．
由P，P′点的坐标可求出P的路径为5-3=2．
故点P所经过的路径长为2．
点评：考查了相似形综合题，涉及的知识点有：等边三角形的性质，相似三角形的判定与性质，两点间的距离，综合性较强，有一定的难度．
练习册系列答案
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9、如图1，已知线段AB和直线m，点A在直线m上，以AB为一边画等腰△ABC，且使点C在直线m上，这样的等腰三角形最多有（　　）
（2012•翔安区模拟）（1）如图1，已知线段AB，请用直尺和圆规作出线段AB的垂直平分线（不写画法，保留作图痕迹）；
（2）计算：(-1)0+2sin60°+
16
-|1-
3
|；
（3）如图2，已知AB∥CD，直线MN交AB于M，交CD于N，ME平分∠AMN，NF平分∠DNM，求证：EM∥FN．
（2011•梅州）如图1，已知线段AB的长为2a，点P是AB上的动点（P不与A，B重合），分别以AP、PB为边向线段AB的同一侧作正△APC和正△PBD．
（1）当△APC与△PBD的面积之和取最小值时，AP=
a
a
；（直接写结果）
（2）连接AD、BC，相交于点Q，设∠AQC=α，那么α的大小是否会随点P的移动面变化？请说明理由；
（3）如图2，若点P固定，将△PBD绕点P按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
（2011•石家庄二模）阅读材料：
我们将能完全覆盖平面图形的最小圆称为该平面图形的最小覆盖圆．
例如：线段AB的最小覆盖圆就是以线段AB为直径的圆．
操作探究：
（1）如图1：已知线段AB与其外一点C，作过A、B、C三点的最小覆盖圆；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）边长为1cm的正方形的最小覆盖圆的半径是
2
2
2
2
cm；
如图2，边长为1cm的两个正方形并列在一起，则其最小覆盖圆的半径是
5
2
5
2
cm；
如图3，半径为1cm的两个圆外切，则其最小覆盖圆的半径是
2
2
cm．
联想拓展：
⊙O1的半径为8，⊙O2，⊙O3的半径均为5．
（1）当⊙O1、⊙O2、⊙O3两两外切时（如图4），则其最小覆盖圆的半径是
40
3
40
3
；
（2）当⊙O1、⊙O2、⊙O3两两相切时，（1）中的结论还成立吗？如果不成立，则其最小覆盖圆的半径是
13
13
，并作出示意图．

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