Question

（2013•安阳一模）如图，在?ABCD中，点A在x轴上，∠AOC=60°，OC=4cm，OA=8cm，动点P从点O出发，以1cm/s的速度沿线段OA运动；动点Q同时从点O出发，以a cm/s的速度沿线段OC→CB运动，其中一点先到达终点，另一点也随着停止运动．设运动时间为t
（1）填空：点C的坐标是

（2，2

3

）

，对角线OB的长度是

4

7

cm

cm．
（2）当a=1时，设△OPQ面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出当t为何值时，S的最大值？
（3）设线段PQ与对角线OB交于一点M，当a=

5

7

，t=7时，以O、M、P为顶点的三角形是否与△OAB相似？请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过C作CH⊥x轴于H，过B作BR⊥x轴于R，根据平行四边形的性质得出BC=OA=8cm，BC∥OA，解直角三角形求出CH和OH即可；根据勾股定理求出OB长即可；
（2）①当0＜t≤4时，求出OP=OQ，过点Q作QD⊥x轴于点D，求出QD=

3

2

t，根据三角形面积公式求出即可；②当4≤t≤8时，作QE⊥x轴于点E，求出QE=2

3

cm，根据三角形面积公式求出即可；
（3）相似，求出BQ=OP=7，证△BMQ≌△OMP，求出OM=BM=2

7

，求出

OM

OA

=

OP

OB

=

7

4

，根据相似三角形的判定推出即可．

解答：解：（1）过C作CH⊥x轴于H，过B作BR⊥x轴于R，如图1，

∵四边形ABCO是平行四边形，
∴BC=OA=8cm，BC∥OA，
∵∠AOC=60°，OC=4cm，
∴∠OCH=30°，CH=OC•sin60°=4×

3

2

=2

3

（cm），
∴OH=

1

2

OC=2cm，
即AR=OH=3cm，BR=CH=2

3

cm
∴C的坐标是（2，2

3

），
在Rt△ORB中，BR=2

3

cm，OR=8+2=10（cm），由勾股定理得：OB=4

7

（2）①当0＜t≤4时，如图2，

∵∠AOC=60°，a=1，
∴OP=OQ，
过点Q作QD⊥x轴于点D，
∵OQ=t，∠QOD=60°，
则QD=

3

2

t，
∴S=

1

2

OP•QD=

3

4

t2；
②当4≤t≤8时，作QE⊥x轴于点E，如图3，

则QE=2

3

cm，
∴S=

1

2

DP•QE=

3

t，
综合上述，当t=8时，S的值最大，最大值为8

3

cm²．

（3）相似，理由如下：
如图4，当a=

5

7

，t=7时，OP=7，BQ=12-at=7，

则BQ=OP，
∵BC∥OA，
∴∠QBM=∠POM，
∵在△BMQ和△OMP中

∠BMQ=∠PMO ∠QBM=∠POM BQ=OP

∴△BMQ≌△OMP（AAS），
∴OM=BM=2

7

，
∴

OM

OA

=

2 7

8

=

7

4

，

OP

OB

=

7

4 7

=

7

4

，
∴

OM

OA

=

OP

OB

又∵∠MOP=∠AOB，
∴△OPM∽△OBA．
故答案为：（2，2

3

），4

7

cm．

点评：本题考查了勾股定理，含30度角的直角三角形性质，解直角三角形，相似三角形的判定，全等三角形的性质和判定等知识点的综合应用，主要考查学生运用定理进行推理和计算的能力．