Question

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

(1)求证：△MBA≌△NDC；

(2)四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？请说明理由．

Answer 1

答案：
解析：

分析：(1)根据矩形的性质和中点的定义，利用SAS判定△MBA≌△NDC； 　　(2)四边形MPNQ是菱形，连接AN，有(1)可得到BM＝CN，再有中点得到PM＝NQ，再通过证明△MQD≌△NPB得到MQ＝PN，从而证明四边形MPNQ是平行四边形，利用三角形中位线的性质可得：MP＝MQ，进而证明四边形MQNP是菱形． 　　解答：证明：(1)∵四边形ABCD是矩形， 　　∵AB＝CD，AD＝BC，∠A＝∠C＝90°， 　　∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点， 　　∴AM＝AD，CN＝BC， 　　∴AM＝CN， 　　在△MAB≌△NDC， 　　∵， 　　∴△MAB≌△NDC； 　　(2)四边形MPNQ是菱形， 　　理由如下：连接AN， 　　易证：△ABN≌△BAM， 　　∴AN＝BM， 　　∵△MAB≌△NDC， 　　∴BM＝DN， 　　∵P、Q分别是BM、DN的中点， 　　∴PM＝NQ， 　　∵DM＝BN，DQ＝BP，∠MDQ＝∠NBP， 　　∴△MQD≌△NPB． 　　∴四边形MPNQ是平行四边形， 　　∵M是AB中点，Q是DN中点， 　　∴MQ＝AN， 　　∴MQ＝BM， 　　∴MP＝BM， 　　∴MP＝MQ， 　　∴四边形MQNP是菱形． 　　点评：本题考查了矩形的性质、全等三角形的判定和全等三角形的性质、三角形中位线定理以及平行四边形的判定和菱形的判定方法，属于基础题目．

提示：

考点：矩形的性质；全等三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线；菱形的判定．